а)  Любое сечение шара плоскостью  — это круг, причем радиус этого круга не превосходит радиуса самого шара. Тогда из условия следует, что $\pi R ^2 больше или = 6$ где R  — радиус меньшего шара. Тогда площадь его поверхности, равная $4 \pi R ^2$ не меньше чем 24. Что и требовалось доказать.
б)  Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры кругов.
Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке. [рис.] Отрезок FD  — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью  α, тогда $S_ альфа = \pi \cdot FD ^2 = 6$   — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.
Отрезок AB  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью  β, тогда $S_ бета = \pi \cdot AB ^2 = 4$   — площадь сечения большего шара плоскостью β.
Отрезок CF  — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α. Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников получаем:

$OF ^2 = OC ^2 - CF ^2 = OD ^2 - FD ^2$

откуда

$CF ^2 = OC ^2 - OD ^2 + FD ^2 = OB ^2 - OA ^2 + FD ^2 = AB ^2 + FD ^2$

Площадь сечения большего шара плоскостью α:

$S = \pi \cdot CF ^2 = \pi \cdot AB ^2 + \pi \cdot FD ^2 =10$

Ответ: б) 10.

Приведем решение Дмитрия Сузана.
а)  Пусть радиус меньшего шара равен r, радиус большего шара равен R. Площадь сечения шара плоскостью, находящейся на расстоянии где h от центра шара $( h меньше или = R )$ равна $\pi ( R ^2 - h ^2 )$ Плоскость α находится от центра шара на расстоянии $h_1$ плоскость β находится на расстоянии расстояние r. Из условий имеем:

$\pi ( r ^2 - h_1 ^2 ) =6, \quad ( 1 )$
$\pi ( R ^2 - r ^2 ) =4, \quad ( 2 )$

Умножим (1) на 4, раскроем скобки, получим: $4 \pi r ^2 =24 + 4 \pi h_1 ^2$ В левой части стоит площадь поверхности малого шара, в правой части  — число, не меньшее 24. Утверждение а) доказано.
б)  Сложим (1) и (2), получим: $\pi ( R ^2 - h_1 ^2 ) =10$ В левой части стоит площадь сечения большего шара плоскостью α.