[рис.] Точка C лежит на окружности с диаметром AB, поэтому ∠ACB  =  90°.
По теореме Пифагора $AB= $\sqrt{аргумента: AC в степени ( 2}$ аргумента + BC ^2 ) = $\sqrt{аргумента: 40 в степени ( 2}$ аргумента + 30 ^2 ) =50$ Пусть CD  — высота треугольника ABC. Тогда:

$CD= $\frac{AC \cdot BC}{AB}$ = $\frac{40 \cdot 30}{50}$ =24$

$BD= $\sqrt{аргумента: BC в степени ( 2}$ аргумента - CD ^2 ) = $\sqrt{аргумента: 900 - 576}$ аргумента =18$

Из прямоугольного треугольника находим:

$DM= $\sqrt{аргумента: CM в степени ( 2}$ аргумента - CD ^2 ) = $\sqrt{аргумента: 29 в степени ( 2}$ аргумента - 24 ^2 ) = $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$

[рис.]
Если точка M лежит между точками A и D, то $MB=MD + BD=18 + $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$
Следовательно,

$S_BMC= $\frac{1}{2}$ MB \cdot CD= $\frac{1}{2}$ \cdot 24 \cdot ( 18 + $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента ) =216 + 12 $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$

Если точка M лежит между B и D , то $MB=BD - MD=18 - $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$
Следовательно,

$S_BMC= $\frac{1}{2}$ MB \cdot CD= $\frac{1}{2}$ \cdot 24 \cdot ( 18 - $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента ) =216 - 12 $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$

Ответ: $216\pm 12 $\sqrt{аргумента: 265}$ аргумента$