[рис.] Обозначим ∠BAC  =  α. Тогда $\text{tg} альфа = $\frac{BC}{AC}$ = \frac{5}{12}$ $\cos альфа = \frac{12}{13}$ $\sin альфа = \frac{5}{13}$

Пусть x  — радиус искомой окружности, O  — ее центр, D  — точка касания с лучом AC, M  — точка касания с окружностью S, E  — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

$\ctg\angle OAD=\ctg $\frac{альфа}{2}$ = $\frac{1 + \cos альфа}{\sin альфа}$ = \frac{1 + $\frac{12}{13}$ ,}{$\frac{5}{13}$} =5$

Из прямоугольного треугольника OAD находим, что

$AD=OD\ctg $\frac{альфа}{2}$ =5x$

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC, а центр второй  — вне, причём искомая окружность касается окружности S внешним образом, значит, BO  =  BM + MO  =  8 + x. В первом случае точка D лежит на катете AC, поэтому
[рис.]

$OE=CD=AC - AD=12 - 5x,BE=BC - CE=BC - OD=5 - x$

Причём AD AC, то есть 5x 
$BO ^2 =OE ^2 + BE ^2 = сильно ( 8 + x ) ^2 = ( 12 - 5x ) ^2 + ( 5 - x ) ^2 = сильно 25x ^2 - 146x + 105=0$ $BO ^2 =OE ^2 + BE ^2 = сильно ( 8 + x ) ^2 = ( 12 - 5x ) ^2 + ( 5 - x ) ^2 = сильно$
$ = сильно 25x ^2 - 146x + 105=0$ $BO ^2 =OE ^2 + BE ^2 = сильно$
$ = сильно ( 8 + x ) ^2 = ( 12 - 5x ) ^2 + ( 5 - x ) ^2 = сильно$
$ = сильно 25x ^2 - 146x + 105=0$

Учитывая, что $x меньше \frac{12}{5}$ находим, что $x= \frac{21}{25}$
Во втором случае точка D лежит на продолжении катета AC за точку C, поэтому OE  =  CD  =  AD − AC  =  5x − 12, причём AD > AC, то есть $x больше \frac{12}{5}$
Тогда $( 8 + x ) ^2 = ( 5x - 12 ) ^2 + ( 5 - x ) ^2 = сильно 25x ^2 - 146x + 105=0$
Учитывая, что $x больше \frac{12}{5}$ находим, что x  =  5 (это значит, что OD  =  BC, то есть точка E совпадает с вершиной B).

Ответ: $\frac{21}{25}$ или 5.