15‐го января планируется взять кредит в банке в размере S рублей на n месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину A меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
Найдите n, S, A и общую сумму выплат после погашения кредита D, если известно, что четвёртая выплата составит 17 700 рублей, а девятая выплата — 16 200 рублей.
— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15‐го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину A меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца.
Найдите n, S, A и общую сумму выплат после погашения кредита D, если известно, что четвёртая выплата составит 17 700 рублей, а девятая выплата — 16 200 рублей.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть $k=0,02$ Составим таблицу.
Номер месяца
Долг на 1 число месяца,
с учетом процентов,
руб.
Выплата,
руб.
Долг на 15 число месяца,
руб.
S
1
$( 1 + k ) S$
$kS + \frac{S}{n}$
$S - \frac{S}{n}$
...
...
...
...
4
$( 1 + k ) ( S - $\frac{3S}{n}$ )$
$k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - \frac{4S}{n}$
...
...
...
...
9
$( 1 + k ) ( S - $\frac{8S}{n}$ )$
$k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - \frac{9S}{n}$
...
...
...
...
n
...
...
0
Найдём разность четвёртой и девятой выплат:
$k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ - ( k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ ) =17700 - 16200 = сильно$
$ = сильно $\frac{5kS}{n}$ =1500 = сильно $\frac{5 \cdot 0,02 \cdot S}{n}$ =1500 = сильно $\frac{S}{n}$ =15000$ $k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ - ( k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ ) =17700 - 16200 = сильно$
$ = сильно $\frac{5kS}{n}$ =1500 = сильно$
$ = сильно $\frac{5 \cdot 0,02 \cdot S}{n}$ =1500 = сильно $\frac{S}{n}$ =15000$
Заметим, что $\frac{S}{n} =A$ значит, $A=15000$ руб.
Найдём S, подставив найденное значение A в уравнение для четвёртой выплаты:
$0,02 ( S - 3 \cdot 15000 ) + 15000=17700 = сильно S=180000$
Тогда
$\frac{180000}{n} =15000 = сильно n=12$
Заметим, что выплаты представляют собой арифметическую прогрессию. Найдём сумму выплат D, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
$D=D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_12 = $\frac{D_1 + D_12}{2}$ \cdot 12=$
$= $\frac{D_4 + D_9}{2}$ \cdot 12= ( 17700 + 16200 ) \cdot 6=203400$ руб.
Ответ: $n=12$ $S=180000$ $A=15000$ руб. и $D=203400$ руб.
Номер месяца
Долг на 1 число месяца,
с учетом процентов,
руб.
Выплата,
руб.
Долг на 15 число месяца,
руб.
S
1
$( 1 + k ) S$
$kS + \frac{S}{n}$
$S - \frac{S}{n}$
...
...
...
...
4
$( 1 + k ) ( S - $\frac{3S}{n}$ )$
$k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - \frac{4S}{n}$
...
...
...
...
9
$( 1 + k ) ( S - $\frac{8S}{n}$ )$
$k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + \frac{S}{n}$
$S - \frac{9S}{n}$
...
...
...
...
n
...
...
0
Найдём разность четвёртой и девятой выплат:
$k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ - ( k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ ) =17700 - 16200 = сильно$
$ = сильно $\frac{5kS}{n}$ =1500 = сильно $\frac{5 \cdot 0,02 \cdot S}{n}$ =1500 = сильно $\frac{S}{n}$ =15000$ $k ( S - $\frac{3S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ - ( k ( S - $\frac{8S}{n}$ ) + $\frac{S}{n}$ ) =17700 - 16200 = сильно$
$ = сильно $\frac{5kS}{n}$ =1500 = сильно$
$ = сильно $\frac{5 \cdot 0,02 \cdot S}{n}$ =1500 = сильно $\frac{S}{n}$ =15000$
Заметим, что $\frac{S}{n} =A$ значит, $A=15000$ руб.
Найдём S, подставив найденное значение A в уравнение для четвёртой выплаты:
$0,02 ( S - 3 \cdot 15000 ) + 15000=17700 = сильно S=180000$
Тогда
$\frac{180000}{n} =15000 = сильно n=12$
Заметим, что выплаты представляют собой арифметическую прогрессию. Найдём сумму выплат D, используя формулу суммы арифметической прогрессии:
$D=D_1 + D_2 + D_3 + ... + D_12 = $\frac{D_1 + D_12}{2}$ \cdot 12=$
$= $\frac{D_4 + D_9}{2}$ \cdot 12= ( 17700 + 16200 ) \cdot 6=203400$ руб.
Ответ: $n=12$ $S=180000$ $A=15000$ руб. и $D=203400$ руб.
Правильный ответ:
$n=12$ $S=180000$ $A=15000$ руб. и $D=203400$ руб
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69186 • Задание №15
Высоты равнобедренного треугольника АВС с основанием АС пересекаются в точке Н, угол В равен 30 градусов. Луч ...
ID 69610 • Задание №16
В сентябре 2025-го года планируется взять кредит на 5 лет в размере 315 тысяч рублей. Условия его возврата та...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...