В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на восемь лет в размере 400 тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на q% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года — к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью. Найдите q и r, если известно, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб.
— каждый январь 2026, 2027, 2028, 2029 годов долг возрастает на q% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь 2030, 2031, 2032, 2033 годов долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года — к июлю 2033 года долг будет выплачен полностью. Найдите q и r, если известно, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб.
💡 Пошаговый разбор и решение:
В течение 8 лет долг в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, значит, ежегодно долг уменьшается на $\frac{400}{8} =50$ тыс. руб. Пусть $m=1 + \frac{q\%}{100\%}$ $n=1 + \frac{r\%}{100\%}$ Заполним таблицу.
Год
Долг в январе,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг в июле,
тыс. руб.
2025
400
2026
$400m$
$400m - 350$
350
2027
$350m$
$350m - 300$
300
2028
$300m$
$300m - 250$
250
2029
$250m$
$250m - 200$
200
2030
$200n$
$200n - 150$
150
2031
$150n$
$150n - 100$
100
2032
$100n$
$100n - 50$
50
2033
$50n$
$50n - 0$
0
Найдём из таблицы суммы выплат за первые и за последние четыре года:
$S_2026 - 2029=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=1300m - 1100$ $S_2026 - 2029=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=$
$=1300m - 1100$ $S_2026 - 2029=$
$=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=$
$=1300m - 1100$
$S_2030 - 2033=200n - 150 + 150n - 100 + 100n - 50 + 50n=500n - 300$
Учитывая, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб., получаем систему уравнений
$$$\begin{cases} 1300m - 1100 + 500n - 300=650 \\[6pt] 1300m - 1100 - 500n + 300=140 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2600m - 2200=790 \\[6pt] 1000n - 600=510 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m=1 \\[6pt] 15 \\[6pt] n=1 \\[6pt] 11. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 1300m - 1100 + 500n - 300=650 \\[6pt] 1300m - 1100 - 500n + 300=140 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2600m - 2200=790 \\[6pt] 1000n - 600=510 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m=1 \\[6pt] 15 \\[6pt] n=1 \\[6pt] 11. \end{cases}$$$
Следовательно, $q=15$ и $r=11$
Ответ: $q=15$ $r=11$
Год
Долг в январе,
тыс. руб.
Выплата,
тыс. руб.
Долг в июле,
тыс. руб.
2025
400
2026
$400m$
$400m - 350$
350
2027
$350m$
$350m - 300$
300
2028
$300m$
$300m - 250$
250
2029
$250m$
$250m - 200$
200
2030
$200n$
$200n - 150$
150
2031
$150n$
$150n - 100$
100
2032
$100n$
$100n - 50$
50
2033
$50n$
$50n - 0$
0
Найдём из таблицы суммы выплат за первые и за последние четыре года:
$S_2026 - 2029=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=1300m - 1100$ $S_2026 - 2029=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=$
$=1300m - 1100$ $S_2026 - 2029=$
$=400m - 350 + 350m - 300 + 300m - 250 + 250m - 200=$
$=1300m - 1100$
$S_2030 - 2033=200n - 150 + 150n - 100 + 100n - 50 + 50n=500n - 300$
Учитывая, что сумма всех выплат после полного погашения кредита составит 650 тыс. руб., а общая сумма выплат за первые четыре года больше общей суммы выплат за последние четыре года на 140 тыс. руб., получаем систему уравнений
$$$\begin{cases} 1300m - 1100 + 500n - 300=650 \\[6pt] 1300m - 1100 - 500n + 300=140 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2600m - 2200=790 \\[6pt] 1000n - 600=510 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m=1 \\[6pt] 15 \\[6pt] n=1 \\[6pt] 11. \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} 1300m - 1100 + 500n - 300=650 \\[6pt] 1300m - 1100 - 500n + 300=140 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2600m - 2200=790 \\[6pt] 1000n - 600=510 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} m=1 \\[6pt] 15 \\[6pt] n=1 \\[6pt] 11. \end{cases}$$$
Следовательно, $q=15$ и $r=11$
Ответ: $q=15$ $r=11$
Правильный ответ:
$q=15$ $r=11$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 65708 • Задание №7
Найдите значение выражения $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: чис...
ID 70269 • Задание №17
В остроугольном треугольнике АВС отмечены: H — точка пересечения высот, О — центр описанной окружности, A1 ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...