Пусть акции проданы в конце года t за t2 тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит $s ( t ) =t ^2 \cdot 1,25 в степени ( 20 - t )$ тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

$s' ( t ) = 2t \cdot 1,25 в степени ( 20 - t ) + t ^2 \cdot 1,25 в степени ( 20 - t ) \ln1,25 \cdot ( - 1 ) = 1,25 в степени ( 20 - t ) t ( 2 - t\ln1,25 )$ $s' ( t ) = 2t \cdot 1,25 в степени ( 20 - t ) + t ^2 \cdot 1,25 в степени ( 20 - t ) \ln1,25 \cdot ( - 1 ) =$
$= 1,25 в степени ( 20 - t ) t ( 2 - t\ln1,25 )$

Найденная производная обращается в нуль в точке $\frac{2}{\ln1,25} =2 \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e$ и меняет в ней знак с + а на - . Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

$( $\frac{5}{4}$ ) в степени 4 меньше e меньше ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 5 = сильно \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 4 меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 5 = сильно$
$ = сильно 4 меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше 5 = сильно 8 меньше 2 \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше 10$ $( $\frac{5}{4}$ ) в степени 4 меньше e меньше ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 5 = сильно$
$ = сильно \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 4 меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) ( $\frac{5}{4}$ ) в степени 5 = сильно$
$ = сильно 4 меньше \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше 5 = сильно 8 меньше 2 \log_{левая} круглая скобка 1,25 ) e меньше 10$

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

$\frac{s ( 9 )}{s ( 8 )} = $\frac{81 \cdot 1,25 в степени ( 11 )}{64 \cdot 1,25 в степени ( 12 )}$ = $\frac{81 \cdot 4}{64 \cdot 5}$ = $\frac{324}{320}$ больше 1$
$\frac{s ( 9 )}{s ( 10 )} = $\frac{81 \cdot 1,25 в степени ( 11 )}{100 \cdot 1,25 в степени ( 10 )}$ = $\frac{81 \cdot 5}{100 \cdot 4}$ = $\frac{405}{400}$ больше 1$

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

Примечание.
Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.

Приведём другое решение.
Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:

2-й год: $\frac{4}{1}$ 3-й год: $\frac{9}{4}$ 4-й год: $\frac{16}{9}$ 5-й год: $\frac{25}{16}$ 6-й год: $\frac{36}{25}$ 7-й год: $\frac{49}{36}$ 8-й год: $\frac{64}{49}$ 9-й год: $\frac{81}{64}$ 10-й год: $\frac{100}{81}$

Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й год меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств

$k = $\frac{( t + 1 ) ^2}{t ^2}$ = $\frac{t ^2 + 2t + 1}{t ^2}$ = 1 + $\frac{2}{t}$ + \frac{1}{} t ^2$

получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.
Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.