Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1 806 000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант 1 |
− Каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2 |
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
− к 15-му числу 24 месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Вариант 1 |
− Каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
− кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2 |
− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
− 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
− к 15-му числу 24 месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Пусть S — размер кредита, он равен 1806 тысячам рублей. Срок погашения кредита n составляет 2 года, или 24 месяца. Процентная ставка r составляет в первом варианте 15% годовых, а во втором 2% ежемесячно.
В первом варианте долг х выплачен двумя платежами, поэтому $( S \cdot 1,15 - x ) 1,15 - x = 0$ откуда
$S \cdot 1,3225 - 2,15x = 0 = сильно x = $\frac{S \cdot 1,3225}{2,15}$ \undersetS = 1806\mathop = сильно x = $\frac{1806 \cdot 1,3225}{2,15}$ = 1110,9$ тыс. руб.
Сумма выплат составляет $1110,9 \cdot 2 = 2221,8$ тыс. руб.
Во втором варианте суммы долга составляют арифметическую прогрессию:
$S \cdot 1,02, S \cdot 1,02 \cdot $\frac{23}{24}$ , S \cdot 1,02 \cdot $\frac{22}{24}$ , \ldots, S \cdot 1,02 \cdot \frac{1}{24}$
а выплаты равны
$S \cdot 0,02 + $\frac{S}{24}$ , $\frac{S \cdot 0,02 \cdot 23 + S}{24}$ , $\frac{S \cdot 0,0,02 \cdot 22 + S}{24}$ , \ldots, \frac{S \cdot 0,02 + S}{24}$
Поэтому для суммы выплат получаем:
$S + S \cdot 0,02 ( 1 + $\frac{23}{24}$ + $\frac{22}{24}$ + ... + $\frac{1}{24}$ ) = S + S \cdot 0,02 ( \frac{1 + $\frac{1}{24}$ ,}{2} \cdot 24 ) =$
$= S + S \cdot 0,02 \cdot $\frac{25}{2}$ = S + $\frac{S}{4}$ = 1,25S$ $S + S \cdot 0,02 ( 1 + $\frac{23}{24}$ + $\frac{22}{24}$ + ... + $\frac{1}{24}$ ) =$
$= S + S \cdot 0,02 ( \frac{1 + $\frac{1}{24}$ ,}{2} \cdot 24 ) =$
$= S + S \cdot 0,02 \cdot $\frac{25}{2}$ = S + $\frac{S}{4}$ = 1,25S$
или $1,25 \cdot 1806 = 2257,5$ тыс. руб.
Следовательно, более выгоден кредит, описанный в варианте 1; разность сумм выплат составит
$2257,5 - 2221,8 = 35,7 ( тыс. руб. ) = 35700 руб$
Ответ: 35 700 рублей.
В первом варианте долг х выплачен двумя платежами, поэтому $( S \cdot 1,15 - x ) 1,15 - x = 0$ откуда
$S \cdot 1,3225 - 2,15x = 0 = сильно x = $\frac{S \cdot 1,3225}{2,15}$ \undersetS = 1806\mathop = сильно x = $\frac{1806 \cdot 1,3225}{2,15}$ = 1110,9$ тыс. руб.
Сумма выплат составляет $1110,9 \cdot 2 = 2221,8$ тыс. руб.
Во втором варианте суммы долга составляют арифметическую прогрессию:
$S \cdot 1,02, S \cdot 1,02 \cdot $\frac{23}{24}$ , S \cdot 1,02 \cdot $\frac{22}{24}$ , \ldots, S \cdot 1,02 \cdot \frac{1}{24}$
а выплаты равны
$S \cdot 0,02 + $\frac{S}{24}$ , $\frac{S \cdot 0,02 \cdot 23 + S}{24}$ , $\frac{S \cdot 0,0,02 \cdot 22 + S}{24}$ , \ldots, \frac{S \cdot 0,02 + S}{24}$
Поэтому для суммы выплат получаем:
$S + S \cdot 0,02 ( 1 + $\frac{23}{24}$ + $\frac{22}{24}$ + ... + $\frac{1}{24}$ ) = S + S \cdot 0,02 ( \frac{1 + $\frac{1}{24}$ ,}{2} \cdot 24 ) =$
$= S + S \cdot 0,02 \cdot $\frac{25}{2}$ = S + $\frac{S}{4}$ = 1,25S$ $S + S \cdot 0,02 ( 1 + $\frac{23}{24}$ + $\frac{22}{24}$ + ... + $\frac{1}{24}$ ) =$
$= S + S \cdot 0,02 ( \frac{1 + $\frac{1}{24}$ ,}{2} \cdot 24 ) =$
$= S + S \cdot 0,02 \cdot $\frac{25}{2}$ = S + $\frac{S}{4}$ = 1,25S$
или $1,25 \cdot 1806 = 2257,5$ тыс. руб.
Следовательно, более выгоден кредит, описанный в варианте 1; разность сумм выплат составит
$2257,5 - 2221,8 = 35,7 ( тыс. руб. ) = 35700 руб$
Ответ: 35 700 рублей.
Правильный ответ:
35 700 рублей
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70653 • Задание №17
Найдите все значения а, при каждом из которых множество решений системы неравенств
$система выражений новая с...
ID 70108 • Задание №17
B трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основаниям. Из точки A на сторону CD опустили перпендикуляр...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...