Василий хочет взять кредит на сумму 1 325 535 рублей на 5 лет под 20% годовых. Банк предложил ему два варианта:
Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).
Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант.
Вариант 1. Василий отдаёт одну и ту же сумму каждый год (аннуитетные платежи).
Вариант 2. Василий производит платежи так, чтобы долг уменьшался после каждого платежа на одну и ту же сумму (дифференцированные платежи).
На сколько рублей меньше Василий отдаст банку, если выберет второй вариант.
💡 Пошаговый разбор и решение:
При варианте 1. Если Ф — ежегодная фиксированная сумма, возвращаемая Василием ежегодно, то Василий за 5 лет должен будет отдать 5Ф рублей, которая будет выражена формулой:
$5Ф= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot ( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 5 ) ,}{( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 4 ) + ( $\frac{6}{5}$ ) ^3 + ( $\frac{6}{5}$ ) ^2 + ( $\frac{6}{5}$ ) + 1} = \frac{5 \cdot 1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{5 в степени ( 5 ) \cdot $\frac{1,}{5 в степени ( 4 )}$ ( 6 в степени ( 4 ) + 5 \cdot 6 ^3 + 5 ^2 \cdot 6 ^2 + 5 ^3 \cdot 6 + 5 в степени ( 4 ) )} =$ $5Ф= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot ( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 5 ) ,}{( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 4 ) + ( $\frac{6}{5}$ ) ^3 + ( $\frac{6}{5}$ ) ^2 + ( $\frac{6}{5}$ ) + 1} =$
$= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{5 в степени ( 5 ) \cdot $\frac{1,}{5 в степени ( 4 )}$ ( 6 в степени ( 4 ) + 5 \cdot 6 ^3 + 5 ^2 \cdot 6 ^2 + 5 ^3 \cdot 6 + 5 в степени ( 4 ) )} =$
$= \frac{1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{6 в степени ( 4 ) ( 1 + $\frac{5,}{6}$ + $\frac{5 ^2}{6 ^2}$ + $\frac{5 ^3}{6 ^3}$ + $\frac{5 в степени ( 4 )}{6 в степени ( 4 )}$ )} =1325535 \cdot 6: \frac{1 - $\frac{5 в степени ( 4 )}{6 в степени ( 4 )}$ \cdot $\frac{5}{6}$ ,}{1 - $\frac{5}{6}$} = \frac{1325535 \cdot 6}{$\frac{( 6 в степени ( 5 ) - 5 в степени ( 5 ) ) \cdot 6,}{6 в степени ( 5 )}$} =$ $\frac{1325535 \cdot 6 \cdot 6 в степени ( 4 )}{7776 - 3125} =$
$= $\frac{1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{4651}$ =285 \cdot 6 в степени ( 5 ) =285 \cdot 7776=2216160 ( р. )$
При варианте 2 Василий, за 5 лет кроме того, что вернет полученный кредит 1 325 535 р. будет обязан выплатить проценты:
За первый год 1 325 535 · 0,2 (р). За второй год — $1325535 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot 0,2 ( р )$ за третий год — $1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ \cdot 0,2 ( р )$ и т. д.
Выплаты Василия в целом за 5 лет составят:
$1325535 + 1325535 \cdot 0,2 ( 1 + $\frac{4}{5}$ + $\frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ + $\frac{1}{5}$ ) =$
$1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =1325535 + 795321=2120856 ( р. )$ $1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =$
$=1325535 + 795321=2120856 ( р. )$ $1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=$
$=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =$
$=1325535 + 795321=2120856 ( р. )$
$2216160 - 2120856=95304 ( р. )$
Ответ: на 95 304 рубля.
$5Ф= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot ( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 5 ) ,}{( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 4 ) + ( $\frac{6}{5}$ ) ^3 + ( $\frac{6}{5}$ ) ^2 + ( $\frac{6}{5}$ ) + 1} = \frac{5 \cdot 1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{5 в степени ( 5 ) \cdot $\frac{1,}{5 в степени ( 4 )}$ ( 6 в степени ( 4 ) + 5 \cdot 6 ^3 + 5 ^2 \cdot 6 ^2 + 5 ^3 \cdot 6 + 5 в степени ( 4 ) )} =$ $5Ф= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot ( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 5 ) ,}{( $\frac{6}{5}$ ) в степени ( 4 ) + ( $\frac{6}{5}$ ) ^3 + ( $\frac{6}{5}$ ) ^2 + ( $\frac{6}{5}$ ) + 1} =$
$= \frac{5 \cdot 1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{5 в степени ( 5 ) \cdot $\frac{1,}{5 в степени ( 4 )}$ ( 6 в степени ( 4 ) + 5 \cdot 6 ^3 + 5 ^2 \cdot 6 ^2 + 5 ^3 \cdot 6 + 5 в степени ( 4 ) )} =$
$= \frac{1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{6 в степени ( 4 ) ( 1 + $\frac{5,}{6}$ + $\frac{5 ^2}{6 ^2}$ + $\frac{5 ^3}{6 ^3}$ + $\frac{5 в степени ( 4 )}{6 в степени ( 4 )}$ )} =1325535 \cdot 6: \frac{1 - $\frac{5 в степени ( 4 )}{6 в степени ( 4 )}$ \cdot $\frac{5}{6}$ ,}{1 - $\frac{5}{6}$} = \frac{1325535 \cdot 6}{$\frac{( 6 в степени ( 5 ) - 5 в степени ( 5 ) ) \cdot 6,}{6 в степени ( 5 )}$} =$ $\frac{1325535 \cdot 6 \cdot 6 в степени ( 4 )}{7776 - 3125} =$
$= $\frac{1325535 \cdot 6 в степени ( 5 )}{4651}$ =285 \cdot 6 в степени ( 5 ) =285 \cdot 7776=2216160 ( р. )$
При варианте 2 Василий, за 5 лет кроме того, что вернет полученный кредит 1 325 535 р. будет обязан выплатить проценты:
За первый год 1 325 535 · 0,2 (р). За второй год — $1325535 \cdot $\frac{4}{5}$ \cdot 0,2 ( р )$ за третий год — $1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ \cdot 0,2 ( р )$ и т. д.
Выплаты Василия в целом за 5 лет составят:
$1325535 + 1325535 \cdot 0,2 ( 1 + $\frac{4}{5}$ + $\frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ + $\frac{1}{5}$ ) =$
$1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =1325535 + 795321=2120856 ( р. )$ $1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =$
$=1325535 + 795321=2120856 ( р. )$ $1325535 + 1325535 \cdot 0,2 \cdot \frac{1 + $\frac{1}{5}$ ,}{2} \cdot 5=$
$=1325535 + 1325535 \cdot $\frac{3}{5}$ =$
$=1325535 + 795321=2120856 ( р. )$
$2216160 - 2120856=95304 ( р. )$
Ответ: на 95 304 рубля.
Правильный ответ:
на 95 304 рубля
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68910 • Задание №15
Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 3 конец дроб...
ID 67878 • Задание №13
Решите систему неравенств $система выражений новая строка 11 в степени левая круглая скобка логарифм по основа...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу. | 2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу. | 2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором. | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...