Иван положил в банк некоторую сумму денег на 4 года. Перед началом каждого года он выбирает одну из двух схем начисления прибыли в наступающем году: 1) к сумме на счёте прибавляется 10% от находящейся на нём суммы; 2) к сумме на счёте прибавляется 5% от находящейся на нём суммы и 50 тысяч рублей. Известно, что по прошествии 4 лет Иван максимально может получить 417 967 рублей прибыли, если будет оптимально выбирать схему начисления прибыли. Сколько рублей положил на счёт Иван?
💡 Пошаговый разбор и решение:
Отметим, что если в конце года перед начислением процентов на вкладе лежит сумма S руб., то по первой схеме ко вкладу будет причислено 0,1S руб., а при второй — 0,05S + 50 000 руб. Первая схема более выгодна, если $0,1S больше 0,05S + 50 000$ то есть если S больше 1 млн руб.
Решим задачу полным перебором. Пусть вторая схема никогда не применялась: тогда на вклад изначально была положена сумма S0, не меньшая 1 млн руб., и ежегодно начислялось по 10%. В этом случае через четыре года на вкладе было $1,1 в степени 4 S_0$ руб., а доход составил
$1,1 в степени 4 S_0 - S_0 = 1,4641 S_0 – S_0 = 0,4641 S_0 больше 464 100 больше 417 967 руб$
что противоречит условию задачи.
Пусть изначально на вкладе было менее 1 млн руб., вторая схема применялась лишь в первый год, затем сумма превысила 1 млн руб., и остальные три года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_1 = ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^3 - S_0 = 1,3975 S_0 + 66 500 - S_0 = 0,3975 S_0 + 66 500 руб$ $S_1 = ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^3 - S_0 =$
$= 1,3975 S_0 + 66 500 - S_0 = 0,3975 S_0 + 66 500 руб$
Решая уравнение $S_1 = 417 967$ находим $S_0 = 884 193,71 \ldots руб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Пусть вторая схема применялась первые два года, затем сумма превысила 1 млн руб., и оставшиеся два года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_2 = ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^2 - S_0 =$
$= 1,334025 S_0 + 124 025 - S_0 = 0,334025 S_0 + 124 025 руб$ $S_2 = ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^2 - S_0 =$
$= 1,334025 S_0 + 124 025 - S_0 =$
$= 0,334025 S_0 + 124 025 руб$
Решая уравнение $S_2 = 417 967$ находим $S_0 = 880 тыс. руб$ Такую сумму положить на вклад можно. Через год она достигнет величины 974 тыс. руб., то есть еще не превзойдет 1 млн руб., а через два года, очевидно, превзойдет 1 млн руб., что повлечет применение первой схемы начисления дохода. Таким образом, для вклада 880 тыс. руб. все условия выполнены.
Пусть вторая схема применялась первые три года, затем сумма превысила 1 млн руб., и в последний год применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_3 = ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$ $S_3 =$
$= ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$ $S_3 =$
$= ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 =$
$= 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$
Решая уравнение $S_3 = 417 967$ находим $S_0 = 894 625,76 \ldotsруб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Наконец, пусть вторая схема применялась все четыре года. Тогда через 4 года доход составил
$S_4 = ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$ $S_4 =$
$= ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$ $S_4 =$
$= ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 =$
$= 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$
Решая уравнение $S_4 = 417 967$ находим $S_0 = 939 465,79 \ldots руб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Ответ: 880 000.
Решим задачу полным перебором. Пусть вторая схема никогда не применялась: тогда на вклад изначально была положена сумма S0, не меньшая 1 млн руб., и ежегодно начислялось по 10%. В этом случае через четыре года на вкладе было $1,1 в степени 4 S_0$ руб., а доход составил
$1,1 в степени 4 S_0 - S_0 = 1,4641 S_0 – S_0 = 0,4641 S_0 больше 464 100 больше 417 967 руб$
что противоречит условию задачи.
Пусть изначально на вкладе было менее 1 млн руб., вторая схема применялась лишь в первый год, затем сумма превысила 1 млн руб., и остальные три года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_1 = ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^3 - S_0 = 1,3975 S_0 + 66 500 - S_0 = 0,3975 S_0 + 66 500 руб$ $S_1 = ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^3 - S_0 =$
$= 1,3975 S_0 + 66 500 - S_0 = 0,3975 S_0 + 66 500 руб$
Решая уравнение $S_1 = 417 967$ находим $S_0 = 884 193,71 \ldots руб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Пусть вторая схема применялась первые два года, затем сумма превысила 1 млн руб., и оставшиеся два года применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_2 = ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^2 - S_0 =$
$= 1,334025 S_0 + 124 025 - S_0 = 0,334025 S_0 + 124 025 руб$ $S_2 = ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 ^2 - S_0 =$
$= 1,334025 S_0 + 124 025 - S_0 =$
$= 0,334025 S_0 + 124 025 руб$
Решая уравнение $S_2 = 417 967$ находим $S_0 = 880 тыс. руб$ Такую сумму положить на вклад можно. Через год она достигнет величины 974 тыс. руб., то есть еще не превзойдет 1 млн руб., а через два года, очевидно, превзойдет 1 млн руб., что повлечет применение первой схемы начисления дохода. Таким образом, для вклада 880 тыс. руб. все условия выполнены.
Пусть вторая схема применялась первые три года, затем сумма превысила 1 млн руб., и в последний год применялась первая схема. Тогда через 4 года доход составил
$S_3 = ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$ $S_3 =$
$= ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 = 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$ $S_3 =$
$= ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,1 - S_0 =$
$= 1,2733875 S_0 + 173 387,5 – S_0 =$
$= 0,2733875 S_0 + 173 387,5 руб$
Решая уравнение $S_3 = 417 967$ находим $S_0 = 894 625,76 \ldotsруб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Наконец, пусть вторая схема применялась все четыре года. Тогда через 4 года доход составил
$S_4 = ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$ $S_4 =$
$= ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 = 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$ $S_4 =$
$= ( ( ( ( 1,05S_0 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 ) \cdot 1,05 + 50 000 - S_0 =$
$= 1,21550625 S_0 + 215 506,25 – S_0 =$
$= 0,215506 25 S_0 + 215 506,25 руб$
Решая уравнение $S_4 = 417 967$ находим $S_0 = 939 465,79 \ldots руб$ Получилась бесконечная дробь, которую нельзя положить на вклад.
Ответ: 880 000.
Правильный ответ:
880 000
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68595 • Задание №15
Решите неравенство $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате минус 9x плюс 18 конец...
ID 71364 • Задание №18
Два натуральных числа a и b таковы, что если к десятичной записи числа приписать справа десятичную запись числ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен верный ответ | 2
Верно построена математическая модель | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 2
🔗 Другие задания линии №16 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69435
В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял ...
ID 69436
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу пос...
ID 69437
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых. Однако через...
ID 69438
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз...
ID 69439
Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же...