Введем функцию $f ( x ) =px - ( 0,2x ^2 + 2x + 10 )$ где $p больше 0$ $x больше 0$ Наибольшее значение этой функции будет наибольшим значением прибыли за один год. Преобразуем f(x), получаем:

$f ( x ) = - 0,2x ^2 + ( p - 2 ) x - 10$

Эта квадратичная функция достигает своего наибольшего значения в точке

$x_0= $\frac{p - 2}{0,4}$ = \frac{5 ( p - 2 )}{2}$

оно =

$f ( x_0 ) = - $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{25 ( p - 2 ) ^2}{4}$ + ( p - 2 ) \cdot $\frac{5 ( p - 2 )}{2}$ - 10= $\frac{5 ( p - 2 ) ^2}{2}$ - $\frac{5 ( p - 2 ) ^2}{4}$ - 10= $\frac{5}{4}$ ( p - 2 ) ^2 - 10$ $f ( x_0 ) = - $\frac{1}{5}$ \cdot $\frac{25 ( p - 2 ) ^2}{4}$ + ( p - 2 ) \cdot $\frac{5 ( p - 2 )}{2}$ - 10=$
$= $\frac{5 ( p - 2 ) ^2}{2}$ - $\frac{5 ( p - 2 ) ^2}{4}$ - 10= $\frac{5}{4}$ ( p - 2 ) ^2 - 10$

Вычислим несколько сумм ожидаемой прибыли фирмы по годам, начиная с первого.

Год | Значе-
ние p | Сумма увеличения прибыли фирмы вследствие сдачи построенного цеха

в текущий год (млн руб.) | нарастающая сумма,
считая с первого года (млн руб.)

1 | 18 | $\frac{5}{4} \cdot 16 ^2 - 10= $\frac{5 \cdot 256}{4}$ - 10= $\frac{1280 - 40}{4}$ =310$ | меньше 1060

2 | 19 | $\frac{5}{4} \cdot 17 ^2 - 10= $\frac{5 \cdot 289}{4}$ - 10= $\frac{1445 - 40}{4}$ =351,25$ | $310 + 351,25=661,25$

3 | 20 | $\frac{5}{4} \cdot 18 ^2 - 10= $\frac{5 \cdot 324}{4}$ - 10= $\frac{1620 - 40}{4}$ =395$ | $661,25 + 395=1056,25$

4 | 21 | $\frac{5}{4} - 10= $\frac{5 \cdot 361}{4}$ - 10= $\frac{1805 - 40}{4}$ =441,25$ | $1056,25 + 441,25=1497,50$
а это больше, чем 1060

Ответ: 4.