[рис.] а)  Треугольники АНС и ВНС прямоугольные (рис. 1), поэтому $MH= $\frac{AC}{2}$ =CM$ и $NH= $\frac{CB}{2}$ =CN$ Значит, треугольники MCN и MHN равны по трём сторонам, откуда $\angle MHN = \angle MCN = 90 ^{\circ}$
б)  В прямоугольном треугольнике АВС имеем: $CH= $\sqrt{аргумента: AH \cdot BH}$ аргумента =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$ (рис. 2).
В прямоугольном треугольнике МНР и MCQ с общим углом CMH получаем:

$\frac{MH}{MP} = $\frac{MC}{MQ}$ = \cos \angle CMH$

[рис.]
поэтому треугольники МНС и MРQ подобны с коэффициентом подобия $\cos \angle CMH$
Площадь S треугольника МНС равна половине площади треугольника АНС, то есть $S= $\frac{AH \cdot CH}{4}$ =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Найдём $\cos \angle CMH:$

$\cos \angle CMH = \cos ( 2\angle CAH ) =2 \cos ^2 \angle CAH - 1=$ $\frac{2AH ^2}{AC ^2} - 1= $\frac{2AH ^2}{AH ^2 + CH ^2}$ - 1= \frac{1}{3}$

Значит, площадь треугольника MPQ равна $\frac{S}{\cos ^2 \angle CMH} =18 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Ответ: б) $18 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Примечание Дмитрий Гущина.
Площадь треугольника PQM равна половине произведения QC на PM. Для того, чтобы определить длины данных отрезков, можно два раза применить теорему Менелая к треугольнику АВС, заметив предварительно, что $CH = 2 \sqrt{2}$ $AC = 2 \sqrt{6}$ и $BC = 2 $\sqrt{3}$ :$

$\frac{1}{1} \cdot $\frac{2}{4}$ \cdot \frac{2 $\sqrt{6}$ + CP}{CP} =1$ и $\frac{2}{4} \cdot $\frac{1}{1}$ \cdot \frac{2 $\sqrt{3}$ + BQ}{BQ} =1$

откуда $CP=2 \sqrt{6}$ $BQ=2 \sqrt{3}$ Тогда $PM=3 \sqrt{6}$ $QC=4 \sqrt{3}$ следовательно,

$S_PQM = $\frac{1}{2}$ \cdot 3 $\sqrt{6}$ \cdot 4 $\sqrt{3}$ = 18 \sqrt{2}$

Приведем решение пункта б) Ивана Гладких.
Проведем отрезок AQ, получим треугольник ACQ, в котором QM будет медианой, а отрезок AB будет пересекать медиану в точке H и разбиваться этой точкой на отрезки длиной 4 и 2, считая от вершины A. Следовательно, AB тоже медиана, тогда CB  =  BQ, а треугольник MPQ = бедренный с равными сторонами HQ и CP.
В треугольнике ACQ отрезки QM и AB медианы, значит, $QH=2MH=2CM=AC= $\sqrt{аргумента: AH \cdot AB}$ аргумента =2 \sqrt{6}$ и $CB=BQ= $\sqrt{аргумента: BH \cdot AB}$ аргумента =2 \sqrt{3}$ В = бедренном треугольнике MPQ имеем: $HQ=CP= \sqrt{6}$ Тогда для площади треугольника MPQ получаем:

$S_MPQ = $\frac{1}{2}$ CQ \cdot MP = $\frac{1}{2}$ \cdot 3 $\sqrt{6}$ \cdot 4 $\sqrt{3}$ = 6 $\sqrt{аргумента: 18}$ аргумента =18 \sqrt{2}$