[рис.] а)  Прямая CP  — биссектриса угла ACB, поэтому $\angle ACP=45 ^{\circ}$ Прямая CQ  — биссектриса угла NCM, поэтому $\angle MCQ=45 ^{\circ}$ Следовательно, $\angle QCP=\angle ACP + \angle MCQ=90 ^{\circ}$ Что и требовалось доказать.
б)  Запишем равенство $S_ACB=S_PCB + S_APC$ с помощью формулы площади как половины произведения сторон на \sin угла между ними: $\frac{5 \cdot 3}{2} = \frac{CP \cdot 3}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента} + \frac{CP \cdot 5}{2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}$ тогда $CP= \frac{15 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{8}$ Аналогично $CQ= \frac{15 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{8}$
Отрезок PQ  — гипотенуза = бедренного прямоугольного треугольника QCP, поэтому $PQ= $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента CP= \frac{15}{4}$

Ответ: б) $\frac{15}{4}$

Примечание Дмитрия Гущина.
Доказательство утверждения из пункта а) удобно провести, используя свойство поворота. Действительно, треугольник MCN получен из треугольника АСВ поворотом вокруг точки С на 90° против часовой стрелки. При этом повороте биссектриса СР переходит в биссектрису CQ. Следовательно, угол между ними равен 90°.
Задания, решаемые при помощи поворотов, нередки на ЕГЭ. См., например, задания 517479 (2017 год), 517502 (2017 год), 519659 (2018 год) или задачу 530911 из варианта Александра Ларина № 296 (2020 год).