На гипотенузе AB и на катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причем прямая KN параллельна прямой AB и BM = BN = $\frac{1}{2} KN$ Точка P — середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырехугольник BCPM — = бедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=1$ и $\angle BCM=15 ^{\circ}$
а) Докажите, что четырехугольник BCPM — = бедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если $BM=1$ и $\angle BCM=15 ^{\circ}$
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Поскольку прямая NP параллельна прямой BM и $NP= $\frac{1}{2}$ KN = BM = BN$ $NP= \frac{1}{2}$ четырехугольник BNPM — ромб. Значит, прямая PM параллельна прямой BC, а поскольку CP — медиана прямоугольного треугольника KCN, проведенная из вершины прямого угла, то $CP= $\frac{1}{2}$ KN=BN=PM=BM$ Следовательно, четырехугольник BCPM — = бедренная трапеция.
б) Поскольку $CP= $\frac{1}{2}$ KN=BN=PM$ треугольник CPM = бедренный, поэтому $\angle PCM =\angle CMP= \angle BCM$ Значит, CM — биссектриса угла BCP. Тогда [рис.]
$\angle ABC=\angle MBC=\angle BCP=2\angle BCM=2 \cdot 15 ^{\circ}=30 ^{\circ}$
$\angle KNC=\angle ABC=30 ^{\circ}, CN=KN \cos 30 ^{\circ}=2 \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{2} = \sqrt{3}$
$BC=CN + BN= $\sqrt{3}$ + 1, AC=BC \text{tg} 30 ^{\circ} = \frac{$\sqrt{3}$ + 1}{$\sqrt{3}$}$
Следовательно,
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ AC \cdot BC= $\frac{1}{2}$ ( $\sqrt{3}$ + 1 ) \cdot \frac{$\sqrt{3}$ + 1}{$\sqrt{3}$} = \frac{2 $\sqrt{3}$ + 3}{3}$
Ответ: б) $\frac{2 $\sqrt{3}$ + 3}{3}$
б) Поскольку $CP= $\frac{1}{2}$ KN=BN=PM$ треугольник CPM = бедренный, поэтому $\angle PCM =\angle CMP= \angle BCM$ Значит, CM — биссектриса угла BCP. Тогда [рис.]
$\angle ABC=\angle MBC=\angle BCP=2\angle BCM=2 \cdot 15 ^{\circ}=30 ^{\circ}$
$\angle KNC=\angle ABC=30 ^{\circ}, CN=KN \cos 30 ^{\circ}=2 \cdot \frac{$\sqrt{3}$}{2} = \sqrt{3}$
$BC=CN + BN= $\sqrt{3}$ + 1, AC=BC \text{tg} 30 ^{\circ} = \frac{$\sqrt{3}$ + 1}{$\sqrt{3}$}$
Следовательно,
$S_ABC= $\frac{1}{2}$ AC \cdot BC= $\frac{1}{2}$ ( $\sqrt{3}$ + 1 ) \cdot \frac{$\sqrt{3}$ + 1}{$\sqrt{3}$} = \frac{2 $\sqrt{3}$ + 3}{3}$
Ответ: б) $\frac{2 $\sqrt{3}$ + 3}{3}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: 2 корень из 3 плюс 3, знаменатель: 3 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69715 • Задание №16
Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле S = 1,1S0 + 2000, где S0 — цена ценной бумаги на на...
ID 64253 • Задание №1
[рис.] Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, пр...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...