В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC = 1, а AC = 5.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC = 1, а AC = 5.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Точки P и C — середины отрезков BA и MN соответственно. При повороте треугольника ABC вокруг точки C на 90° по часовой стрелке точки B, A и P отобразятся соответственно в точки M, N и Q. Значит, $\angle PCQ = 90 ^{\circ}$ то есть прямая CP перпендикулярна прямой CQ, что и требовалось доказать.
б) Треугольник BMC — = бедренный, $BC = CM$ и прямоугольный, $\angle BCM = 90 ^{\circ}$ тогда в нём $\angle CBM = \angle BMC = 45 ^{\circ}$ Треугольник ANC — = бедренный, $AC = CN$ и прямоугольный, $\angle ACN = 90 ^{\circ}$ тогда в нём $\angle CAN = \angle ANC = 45 ^{\circ}$ Рассмотрим треугольники BMC и AML. Они подобны по двум углам — углы BMC и AML равны как вертикальные, $\angle MBC = \angle MAL = 45 ^{\circ}$ Значит, $\angle MLA = 90 ^{\circ}$ точка M — точка пересечения высот треугольника ABN, и прямая NK перпендикулярна прямой AB. Тогда прямоугольные треугольники BMK и NML подобны по острому углу — углы BMK и NML равны как вертикальные — и справедливы равенства
$\frac{MB}{MN} = \frac{MK}{ML}$
$\frac{MB}{MK} = \frac{MN}{ML}$
Из последнего равенства и равенства вертикальных углов BMN и KML следует подобие треугольников BMN и KML. Тогда $\frac{KL}{BN} = \frac{ML}{MN}$ откуда получаем:
$KL = $\frac{ML \cdot BN}{MN}$ = \frac{MA \cdot \cos 45 ^{\circ} \cdot ( BC + CN )}{$\sqrt{аргумента: CM ^2 + CN ^2}$ аргумента} = \frac{( 5 - 1 ) \cdot \dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot ( 1 + 5 ) $\sqrt{аргумента: 1 ^2 + 5 ^2}$ аргумента = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$ $KL = $\frac{ML \cdot BN}{MN}$ = \frac{MA \cdot \cos 45 ^{\circ} \cdot ( BC + CN )}{$\sqrt{аргумента: CM ^2 + CN ^2}$ аргумента} =$
$= \frac{( 5 - 1 ) \cdot \dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot ( 1 + 5 ) $\sqrt{аргумента: 1 ^2 + 5 ^2}$ аргумента = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$
Ответ: б) $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$
б) Треугольник BMC — = бедренный, $BC = CM$ и прямоугольный, $\angle BCM = 90 ^{\circ}$ тогда в нём $\angle CBM = \angle BMC = 45 ^{\circ}$ Треугольник ANC — = бедренный, $AC = CN$ и прямоугольный, $\angle ACN = 90 ^{\circ}$ тогда в нём $\angle CAN = \angle ANC = 45 ^{\circ}$ Рассмотрим треугольники BMC и AML. Они подобны по двум углам — углы BMC и AML равны как вертикальные, $\angle MBC = \angle MAL = 45 ^{\circ}$ Значит, $\angle MLA = 90 ^{\circ}$ точка M — точка пересечения высот треугольника ABN, и прямая NK перпендикулярна прямой AB. Тогда прямоугольные треугольники BMK и NML подобны по острому углу — углы BMK и NML равны как вертикальные — и справедливы равенства
$\frac{MB}{MN} = \frac{MK}{ML}$
$\frac{MB}{MK} = \frac{MN}{ML}$
Из последнего равенства и равенства вертикальных углов BMN и KML следует подобие треугольников BMN и KML. Тогда $\frac{KL}{BN} = \frac{ML}{MN}$ откуда получаем:
$KL = $\frac{ML \cdot BN}{MN}$ = \frac{MA \cdot \cos 45 ^{\circ} \cdot ( BC + CN )}{$\sqrt{аргумента: CM ^2 + CN ^2}$ аргумента} = \frac{( 5 - 1 ) \cdot \dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot ( 1 + 5 ) $\sqrt{аргумента: 1 ^2 + 5 ^2}$ аргумента = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$ $KL = $\frac{ML \cdot BN}{MN}$ = \frac{MA \cdot \cos 45 ^{\circ} \cdot ( BC + CN )}{$\sqrt{аргумента: CM ^2 + CN ^2}$ аргумента} =$
$= \frac{( 5 - 1 ) \cdot \dfrac $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2} \cdot ( 1 + 5 ) $\sqrt{аргумента: 1 ^2 + 5 ^2}$ аргумента = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 26}$ аргумента} = \frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$
Ответ: б) $\frac{12 $\sqrt{аргумента: 13}$ аргумента}{13}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: 12 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 13 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 67556 • Задание №13
а) Решите уравнение $1 минус косинус 2 x плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус левая круг...
ID 65504 • Задание №6
В треугольнике ABC угол C равен 90°, $синус A = 0,1$ Найдите $косинус B$ [рис.]...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...