[рис.] а)  Пусть прямая MO пересекает сторону BC в точке Q, а прямая NO пересекает сторону AB в точке E. Прямоугольные треугольники EBN и QBM равны по гипотенузе и острому углу, а потому $\angle ENB = \angle QMB$ Треугольник BMN  — = бедренный по определению, поэтому $\angle BMN = \angle BNM$ Значит, $\angle OMN = \angle ONM$ треугольник OMN  — = бедренный, то есть $OM = ON$ Следовательно, треугольники MBO и NBO равны по трем сторонам, откуда $\angle MBO = \angle NBO$ Таким образом, луч BP  — биссектриса угла ABC.
б)  Квадрат длины биссектрисы треугольника равен разности произведения заключающих биссектрису сторон и произведения отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника:

$BP ^2 = AB \cdot BC - AP \cdot PC = 7,5 \cdot 6 - 5 \cdot 4 = 45 - 20 = 25$

откуда $BP = 5$

Приведем другое решение пункта б).
По свойству биссектрисы получаем:

$\frac{AP}{PC} = $\frac{AB}{BC}$ = сильно $\frac{5}{4}$ = $\frac{AB}{6}$ = сильно AB = 7,5$

Пусть $\angle APB = альфа$ $BP = x$ Тогда по теореме \cos ов в треугольнике ABP:

$\cos альфа = $\frac{BP ^2 + AP ^2 - AB ^2}{2 \cdot BP \cdot AP}$ = $\frac{x ^2 + 25 - 56,25}{2 \cdot x \cdot 5}$ = \frac{x ^2 - 31,25}{10x}$

Аналогично для треугольника BPC:

$\cos \angle BPC = $\frac{BP ^2 + PC ^2 - BC ^2}{2 \cdot BP \cdot PC}$ = $\frac{x ^2 + 16 - 36}{2 \cdot x \cdot 4}$ = \frac{x ^2 - 20}{8x}$

Заметим, что

$\cos \angle BPC = \cos ( 180 ^{\circ} - \angle APB ) = \cos ( 180 ^{\circ} - альфа ) = - \cos альфа$

тогда

$\frac{x ^2 - 31,25}{10x} = $\frac{20 - x ^2}{8x}$ = сильно 8x ^3 - 250x = 200x - 10x ^3 = сильно$
$ = сильно 18x ^3 = 450x = сильно x ^3 = 25x = сильно x ^2 = 25 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 5$ $\frac{x ^2 - 31,25}{10x} = $\frac{20 - x ^2}{8x}$ = сильно$
$ = сильно 8x ^3 - 250x = 200x - 10x ^3 = сильно 18x ^3 = 450x = сильно$
$ = сильно x ^3 = 25x = сильно x ^2 = 25 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 5$

Ответ: б)  5.