Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите площадь трапеции.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Проведем через точку C прямую параллельную $BD$ На пересечении этой прямой и прямой AD отметим точку $C_1$ $BCC_1D$ — параллелограмм.
В треугольнике ACC1: $AC=15$ $CC_1=BD=8$ $AC_1=AD + DC_1=17$
Заметим, что $AC ^2 + CC_1 ^2 =AC_1 ^2$ поскольку $289 = 225 + 64$ тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 прямоугольный, угол ACC1 прямой. Тогда угол COD прямой, что и требовалось доказать.
б) $S_ABCD= $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BD = $\frac{1}{2}$ \cdot 8 \cdot 15 = 60$
Ответ: б) 60.
В треугольнике ACC1: $AC=15$ $CC_1=BD=8$ $AC_1=AD + DC_1=17$
Заметим, что $AC ^2 + CC_1 ^2 =AC_1 ^2$ поскольку $289 = 225 + 64$ тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник ACC1 прямоугольный, угол ACC1 прямой. Тогда угол COD прямой, что и требовалось доказать.
б) $S_ABCD= $\frac{1}{2}$ \cdot AC \cdot BD = $\frac{1}{2}$ \cdot 8 \cdot 15 = 60$
Ответ: б) 60.
Правильный ответ:
б) 60
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70962 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений 3 |x плюс 1| мин...
ID 69859 • Задание №16
На покупку тетрадей в клетку и в линейку можно затратить не более 140 руб. Тетрадь в клетку стоит 3 руб., в ли...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...