Решим первое уравнение системы. Нули стоящих под знаком модуля выражений, делят числовую прямую на четыре промежутка. Рассмотрим каждый из них.
При $x меньше - 1:$

$3 \cdot ( - x - 1 ) - ( - x + 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно - 3x - 3 + x - 2 - 4x + 12 = 13 = сильно - 6x = 6 = сильно x = - 1$ $3 \cdot ( - x - 1 ) - ( - x + 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно - 3x - 3 + x - 2 - 4x + 12 = 13 = сильно$
$ = сильно - 6x = 6 = сильно x = - 1$

На рассматриваемом промежутке уравнение не имеет решений.
При $ - 1 меньше или = x меньше 2:$

$3 \cdot ( x + 1 ) - ( - x + 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно 3x + 3 + x - 2 - 4x + 12 = 13 = сильно 0x = 0$ $3 \cdot ( x + 1 ) - ( - x + 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно 3x + 3 + x - 2 - 4x + 12 = 13 = сильно 0x = 0$

Все числа из полуинтервала $ - 1 меньше или = x меньше 2$ являются решениями уравнения.
При $2 меньше или = x меньше 3:$

$3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно 3x + 3 - x + 2 - 4x + 12 = 13 = сильно - 2x = - 4 = сильно x = 2$ $3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно 3x + 3 - x + 2 - 4x + 12 = 13 = сильно - 2x = - 4 = сильно x = 2$ $3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( - x + 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно 3x + 3 - x + 2 - 4x + 12 = 13 = сильно$
$ = сильно - 2x = - 4 = сильно x = 2$

Число 2 является решением уравнения.
При $x больше или = 3:$

$3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( x - 3 ) = 13 = сильно 3x + 3 - x + 2 + 4x - 12 = 13 = сильно 6x = 20 = сильно x = \frac{10}{3}$ $3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( x - 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно 3x + 3 - x + 2 + 4x - 12 = 13 = сильно 6x = 20 = сильно x = \frac{10}{3}$ $3 \cdot ( x + 1 ) - ( x - 2 ) + 4 ( x - 3 ) = 13 = сильно$
$ = сильно 3x + 3 - x + 2 + 4x - 12 = 13 = сильно$
$ = сильно 6x = 20 = сильно x = \frac{10}{3}$

Число $\frac{10}{3}$ является решением уравнения.
Таким образом, множеством решения первого уравнения системы является $[ - 1; 2 ] \cup \{ $\frac{10}{3}$ \}$
Рассмотрим второе уравнение. По теореме Виета сумма корней уравнения $x ^2 - 2 ( a + 1 ) x + a ( a + 2 ) = 0$ равна $a + ( a + 2 )$ а их произведение = $a ( a + 2 )$ По теореме, обратной теореме Виета, корнями этого уравнения являются числа $x = a$ и $x = a + 2$ Эти числа различны для всех значений параметра. Чтобы систем имела два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы найденные корни одновременно принадлежали множеству решений первого уравнения:

$\left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} - 1 меньше или = a меньше или = 2 \\[6pt] a = $\frac{10}{3}$ \end{cases}$$ . $$\begin{cases} - 1 меньше или = a + 2 меньше или = 2 \\[6pt] a + 2 = $\frac{10}{3}$ \end{cases}$$ . \end{array} \right. . = сильно $$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} - 1 меньше или = a меньше или = 2 \\[6pt] a = $\frac{10}{3}$ \end{cases}$$ . совокупность выражений - 3 меньше или = a меньше или = 0, a = $\frac{4}{3}$ \end{array} \right. . конец совокупности . = сильно \left[ \begin{array}{l} - 1 меньше или = a меньше или = 0, a = $\frac{4}{3}$ . \end{array} \right.$

Ответ: $[ - 1; 0 ] \cup \{ $\frac{4}{3}$ \}$