В = бедренной трапеции ABCD длины оснований AD и BC соответственно равны 4 и 3. Точки M и N лежат на диагонали BD, причем точка M расположена между точками B и N, а отрезки AM и CN перпендикулярны диагонали BD.
а) Докажите, что BN : DM = 3 : 4.
б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2 : 3.
а) Докажите, что BN : DM = 3 : 4.
б) Найдите длину отрезка CN, если известно, что BM : DN = 2 : 3.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Заметим, что углы CBN и MDA равны как накрест лежащие. Поэтому прямоугольные треугольники CBN и ADM подобны по острому углу. Значит, BN : DM = BC : AD = 3 : 4. Что и требовалось доказать.
б) Пусть BM = x, MN = y, ND = z. Тогда из условия 3x = 2z и 4(x + y) = 3(y + z). Отсюда x = 2y, z = 3y. Пусть AM = 4t, CN = 3t. Тогда из теоремы Пифагора следует, что
$( 4t ) ^2 + ( 2y ) ^2 =AB ^2 =CD ^2 = ( 3t ) ^2 + ( 3y ) ^2$
Отсюда $7t ^2 =5y ^2$
Запишем теорему Пифагора для треугольника BNC: $( 3t ) ^2 + ( 3y ) ^2 =3 ^2$ Значит, $t ^2 + y ^2 =1$ поэтому $\frac{12}{5} t ^2 =1$ следовательно, $t= \sqrt{аргумента: $\frac{5}{12}$} аргумента$ а $CN=3t= \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2}$
б) Пусть BM = x, MN = y, ND = z. Тогда из условия 3x = 2z и 4(x + y) = 3(y + z). Отсюда x = 2y, z = 3y. Пусть AM = 4t, CN = 3t. Тогда из теоремы Пифагора следует, что
$( 4t ) ^2 + ( 2y ) ^2 =AB ^2 =CD ^2 = ( 3t ) ^2 + ( 3y ) ^2$
Отсюда $7t ^2 =5y ^2$
Запишем теорему Пифагора для треугольника BNC: $( 3t ) ^2 + ( 3y ) ^2 =3 ^2$ Значит, $t ^2 + y ^2 =1$ поэтому $\frac{12}{5} t ^2 =1$ следовательно, $t= \sqrt{аргумента: $\frac{5}{12}$} аргумента$ а $CN=3t= \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70257 • Задание №17
В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H.
а) Докажите, что $\angle BAH=\angle...
ID 69433 • Задание №15
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены высоты AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...