[рис.] а)  Рассмотрим параллелограмм ABCD и точку N на диагонали AC. Опустим из нее перпендикуляры на стороны параллелограмма так, как показано на рисунке. Заметим теперь, что четырехугольники NPCR и NSAQ вписанные, поскольку в них есть по два противоположных прямых угла. Тогда по свойству вписанного угла получаем, что $\angle PRN=\angle PCN$ и $\angle NSQ=\angle NAQ$ Но углы PCN и NAQ равны из параллельности прямых BС и AD. Значит, равны и углы PRN и NSQ, а значит, прямые PR параллельны SQ. Заметим, что точка N отлична от середины диагонали, следовательно, NP не = NQ. Следовательно, в четырехугольнике SPRQ две стороны параллельны, но при этом он не является параллелограммом, поскольку его диагонали не делятся точкой пересечения пополам, значит, он является трапецией. Что и требовалось доказать.
б)  Диагонали трапеции соответственно перпендикулярны сторонам параллелограмма, поэтому острый угол между ними равен острому углу параллелограмма, то есть 60°. Площадь параллелограмма равна $S=AB \cdot AD \cdot \sin 60 в степени ( \circ )$ Площадь трапеции равна

$S_t= $\frac{1}{2}$ \cdot PQ \cdot SR \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) = $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot AD \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) = $\frac{1}{2}$ \cdot \sin ^2 60 в степени ( \circ ) \cdot S= $\frac{3}{8}$ S=6$ $S_t= $\frac{1}{2}$ \cdot PQ \cdot SR \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) = $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot AD \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot \sin ^2 60 в степени ( \circ ) \cdot S= $\frac{3}{8}$ S=6$ $S_t= $\frac{1}{2}$ \cdot PQ \cdot SR \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot AD \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) \cdot \sin 60 в степени ( \circ ) =$
$= $\frac{1}{2}$ \cdot \sin ^2 60 в степени ( \circ ) \cdot S= $\frac{3}{8}$ S=6$

Ответ: 6.