[рис.] а)  Из условия следует, что FCDE = бедренная трапеция. Пусть угол AFE равен 2α. Углы FEA, CDE и FAE равны, поэтому $\angle FAE=90 ^{\circ} - альфа = \angle CDE = \angle DCF$ и

$\angle BCD = 180 ^{\circ} - \angle ADC=180 ^{\circ} - ( 90 ^{\circ} - альфа ) = 90 ^{\circ} + альфа$

Таким образом,

$\angle BCF = 90 ^{\circ} + альфа - \angle DCF=90 ^{\circ} + альфа - ( 90 ^{\circ} - альфа ) = 2 альфа = \angle AFE$

Что и требовалось доказать.
б)  Пусть $BF=x$ $DE=CF=5x$ угол D равен β, тогда $CD=2 \cdot 5x \cos бета + 8$ $AB=8 + x$ следовательно, $10x \cos бета + 8 = 8 + x$ $\cos бета = \frac{1}{10}$ Пусть EH  — высота трапеции CFED, тогда

$EH = ED \cdot \sin бета = 5x \cdot \sqrt{аргумента: 1 - $\frac{1}{100}$} аргумента = \frac{x $\sqrt{аргумента: 99}$ аргумента}{2} = \frac{3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента x}{2}$

Вычислим площадь трапеции CFED:

$S_CFED= $\frac{FE + CD}{2}$ \cdot EH= $\frac{8 + 8 + x}{2}$ \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента x}{2} = 27 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента \Rightarrow x ( x + 16 ) = 36 \Rightarrow x=2$ $S_CFED= $\frac{FE + CD}{2}$ \cdot EH= $\frac{8 + 8 + x}{2}$ \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента x}{2} = 27 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента \Rightarrow$
$\Rightarrow x ( x + 16 ) = 36 \Rightarrow x=2$

Вычислим длину AE: $AE=2AF \cdot \cos бета = 1,6$ следовательно, $AD = 5 \cdot 2 + 1,6 = 11,6$ Аналогичным способом вычислим длину BC: $BC = AD - 2CD \cdot \cos бета = 11,6 - 2 = 9,6$
Высота трапеции ABCD равна

$CD \cdot \sin бета = 10 \cdot \frac{3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента}{10} = 3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента$

Тогда

$S_ABCD = $\frac{9,6 + 11,6}{2}$ \cdot 3 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента = \frac{159 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента}{5}$

Ответ: $\frac{159 $\sqrt{аргумента: 11}$ аргумента}{5}$