В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M, N, K, P — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно и являются вершинами четырехугольника MNKP. AC и BD — диагонали четырехугольника ABCD. Точка O — точка пересечения отрезков AC и BD.
а) Докажите, что четырехугольник MNKP — параллелограмм.
б) Найдите диагонали MK и PN четырехугольника MNKP, если AC = 4, BD = 6, $\angle AOB = 60 ^{\circ}$
а) Докажите, что четырехугольник MNKP — параллелограмм.
б) Найдите диагонали MK и PN четырехугольника MNKP, если AC = 4, BD = 6, $\angle AOB = 60 ^{\circ}$
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) В треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, поэтому она параллельна стороне AC и $MN = $\frac{1}{2}$ AC$ Аналогично в треугольнике AOC отрезок PK — средняя линия, она параллельна стороне AC и $PK = $\frac{1}{2}$ AC$ Тогда отрезки MN и PK параллельны и равны, значит, четырехугольник MNKP — параллелограмм.
б) В треугольнике BCD отрезок NK — средняя линия, поэтому она параллельна стороне BD, аналогично в треугольнике BAD отрезок MP — средняя линия, она параллельна стороне BD. Тогда
$\angle PKN = \angle AOB = 60 ^{\circ}$
$\angle MNK = \angle AOD = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} = 120 ^{\circ}$
Тогда по теореме \cos ов в треугольниках MKN и PKN соответственно получаем:
$MK = \sqrt{аргумента: MN ^2 + NK ^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot ( - $\frac{1}{2}$ )} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + $\frac{AC}{2}$ \cdot $\frac{BD}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 4 + 6 + 9}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $MK = \sqrt{аргумента: MN ^2 + NK ^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot ( - $\frac{1}{2}$ )} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + $\frac{AC}{2}$ \cdot $\frac{BD}{2}$} аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 4 + 6 + 9}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
$NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ $NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ $NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
Ответ: б) $MK = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $PN = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
Примечание.
Утверждение пункта а) известно под названием теоремы Вариньона.
б) В треугольнике BCD отрезок NK — средняя линия, поэтому она параллельна стороне BD, аналогично в треугольнике BAD отрезок MP — средняя линия, она параллельна стороне BD. Тогда
$\angle PKN = \angle AOB = 60 ^{\circ}$
$\angle MNK = \angle AOD = 180 ^{\circ} - 60 ^{\circ} = 120 ^{\circ}$
Тогда по теореме \cos ов в треугольниках MKN и PKN соответственно получаем:
$MK = \sqrt{аргумента: MN ^2 + NK ^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot ( - $\frac{1}{2}$ )} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + $\frac{AC}{2}$ \cdot $\frac{BD}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 4 + 6 + 9}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $MK = \sqrt{аргумента: MN ^2 + NK ^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot ( - $\frac{1}{2}$ )} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + $\frac{AC}{2}$ \cdot $\frac{BD}{2}$} аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 4 + 6 + 9}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$
$NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента = \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ $NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента = $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$ $NP = \sqrt{аргумента: KN ^2 + KP ^2 - 2 \cdot KN \cdot KP \cdot $\frac{1}{2}$} аргумента =$
$= \sqrt{аргумента: ( $\frac{BD}{2}$ ) ^2 + ( $\frac{AC}{2}$ ) ^2 - $\frac{BD}{2}$ \cdot $\frac{AC}{2}$} аргумента =$
$= $\sqrt{аргумента: 9 + 4 - 6}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
Ответ: б) $MK = $\sqrt{аргумента: 19}$ аргумента$ $PN = $\sqrt{аргумента: 7}$ аргумента$
Примечание.
Утверждение пункта а) известно под названием теоремы Вариньона.
Правильный ответ:
б) $MK = корень из: начало аргумента: 19 конец аргумента$ $PN = корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64579 • Задание №2
Даны векторы $\veca = левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка$ $\vecb = левая круглая скобка минус 3; ...
ID 65726 • Задание №7
Найдите значение выражения $18x в степени 7 умножить на x в степени левая круглая скобка 13 правая круглая ско...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...