[рис.] а)  Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы BAC и DAC равны и треугольник BAD  — = бедренный. Луч AO является биссектрисой в = бедренном треугольнике, значит, он является также медианой и высотой. Значит, отрезки BO и OD равны.
б)  Пусть $BO = OD = x$ $AO = y$ и $OC = z$ $( x, y, z принадлежит N )$ Используя теорему Пифагора, получим систему:

$$$\begin{cases} x ^2 + y ^2 = 25 \\[6pt] x ^2 + z ^2 = 52 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 + y ^2 = 25 \\[6pt] z ^2 - y ^2 = 27 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} x ^2 + y ^2 = 25 \\[6pt] ( z - y ) ( z + y ) = 27. \end{cases}$$ . \qquad ( * )$

Числа z и y  — целые, поэтому $z - y меньше z + y$ и

$\left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} z - y = 1 \\[6pt] z + y = 27 \end{cases}$$ . $$\begin{cases} z - y = 3 \\[6pt] z + y = 9 \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Из первой системы $z = 14$ и $y = 13$ тогда система (*) не имеет решений. Из второй системы $z = 6$ и $y = 3$ откуда $x = 4$
Площадь четырехугольника ABCD равна

$S_ABCD = $\frac{1}{2}$ AC \cdot BD \cdot \sin \angle BOC = $\frac{1}{2}$ ( 6 + 3 ) \cdot ( 4 + 4 ) \cdot 1 = 36$

Ответ: б)  36.