а)  Пусть точка P  — точка пересечения прямых BA и OC. Точки O1 и O2  — центры окружностей. По свойству касательных PB  =  PD и PA  =  PC, следовательно, AB  =  CD. По теореме о квадрате касательной $AB ^2 = AD \cdot AM$ $DC ^2 = DN \cdot DA$ отсюда AM  =  DN, следовательно, $AD - MD = AD - AN$ отсюда AN  =  DM.
[рис.]
б)  Прямые O1A и O2B параллельны и O2B  =  2O1A, следовательно, отрезок O1A  — средняя линия треугольника PBO2, откуда PA  =  AB. Пусть AN  =  MN  =  MD  =  x, тогда $AB ^2 = AM \cdot AD = 6x ^2$ откуда $AB = x \sqrt{6}$ Тогда $PA = x \sqrt{6}$ По теореме \cos ов для треугольника PAD получим:

$\cos \angle APD = \frac{6x ^2 + 24x ^2 - 9x ^2}{2 \cdot x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента \cdot x \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = $\frac{21}{24}$ = \frac{7}{8}$

Пусть $\cos \angle APO_1 = t$ Имеем: $2t ^2 - 1 = \frac{7}{8}$ откуда $t = \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{4}$ тогда

$\text{tg} \angle APO_1 = \sqrt{аргумента: $\frac{16}{15}$ - 1} аргумента = \frac{1}{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}$

отсюда $PA = $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента = AB$ Найдем \cos угла BAD:

$\cos \angle BAD = - \cos \angle PAD = - \frac{9x ^2 + 6x ^2 - 24x ^2}{2 \cdot 3x \cdot x $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = \frac{9x ^2}{6x ^2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = \frac{3}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}$

Тогда \sin угла BAD равен $\sin \angle BAD = \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}$ Найдем площадь треугольника ABD:

$S_ABD = $\frac{1}{2}$ \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD = $\frac{1}{2}$ \cdot $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \frac{3}{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} \cdot $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{2 $\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента} = \frac{15 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{8}$

Ответ: $\frac{15 $\sqrt{аргумента: 15}$ аргумента}{8}$