[рис.] а)  Точка O лежит на биссектрисе угла ANB, поскольку она = удалена от AN и BN. Пусть AB пересекается с NO в точке M. Треугольники ANM и BNM равны: отрезки AN и BN равны как отрезки касательных к окружности, проведенных их одной точки, углы ANM и BNM равны, поскольку NM  — биссектриса угла ANB, MN  — общая сторона. Следовательно, углы AMN и BMN равны. Эти углы также являются смежными, поэтому они равны по 90°.
Прямые NO и AB взаимно перпендикулярны. В прямоугольных треугольниках BMO и NBO угол BOM общий, поэтому углы MBO и BNO равны. Углы ANM и BNM равны, поскольку NM  — биссектриса угла ANB. Следовательно, угол MBO в два раза меньше угла ANB, тогда $\angle ANB = 2 \angle ABC$
б)  Треугольники ABC и MBO подобны с коэффициентом 2, значит, MO  =  ⁠7 и MB  =  ⁠18. Высота, проведенная к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, поэтому $MB ^2 = MN \cdot MO$ откуда

$MN = $\frac{MB ^2}{MO}$ = \frac{324}{7}$

Ответ: б)   $\frac{324}{7}$