Две окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, пересекает окружность ω1 в точке A, а окружность ω2 — в точке B. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AB, пересекает ω1 и ω2 в точках С и D соответственно.
а) Пусть H1 и H2 — ортоцентры треугольников AQC и BQD соответственно. Докажите, что H1H2 = 2O1O2.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACDB, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей = 14, а прямая АВ параллельна линии центров.
а) Пусть H1 и H2 — ортоцентры треугольников AQC и BQD соответственно. Докажите, что H1H2 = 2O1O2.
б) Найдите площадь четырёхугольника ACDB, если известно, что радиусы окружностей равны 13 и 15, расстояние между центрами окружностей = 14, а прямая АВ параллельна линии центров.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Трапеция CAPQ вписана в окружность, поэтому является = бокой и $\angle CAP = 180 ^{\circ} - \angle CQP$ Углы CQP и PQD — смежные, то есть $\angle CAP = \angle PQD$ Трапеция QPBD — вписанная, а потому = бочная: $\angle PQD = \angle BDQ$ Следовательно, прямые AC и BD параллельны, а точки H1, Q и H2 лежат на одной прямой. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше расстояния от центра описанной окружности этого треугольника до стороны, противоположной этой вершине. Если точки M, N и K — середины отрезков AC, PQ и BD соответственно, то
$QH_1 = 2O_1M = 2O_1N$
$QH_2 = 2O_2K + 2O_2N$
Таким образом,
$H_1H_2 = QH_1 + QH_2 = 2O_1N + 2O_2N = 2O_1O_2$
б) Хорда, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна прямой, содержащей их центры, то есть прямая O1O2 перпендикулярна прямой PQ. Прямые AB и O1O2 параллельны по условию, поэтому $\angle APQ = 90 ^{\circ} = \angle ACQ$ Следовательно, четырехугольник ACDB — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Отрезок O1O2 является средней линией треугольника AQB, откуда $AB = 28$ Из условия следует, что $AQ = 26$ и $QB = 30$ Пусть $PQ = x$ тогда по теореме Пифагора из треугольников APQ и BPQ соответственно получаем:
[рис.]
$AP = $\sqrt{аргумента: AQ ^2 - PQ ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента$
$PB = $\sqrt{аргумента: QB ^2 - PQ ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента$
Следовательно,
$\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно$
$ = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно$
$ = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$
Таким образом,
$S_ACDB = AC \cdot AB = PQ \cdot AB = 24 \cdot 28 = 672$
Ответ: б) 672.
$QH_1 = 2O_1M = 2O_1N$
$QH_2 = 2O_2K + 2O_2N$
Таким образом,
$H_1H_2 = QH_1 + QH_2 = 2O_1N + 2O_2N = 2O_1O_2$
б) Хорда, соединяющая точки пересечения двух окружностей, перпендикулярна прямой, содержащей их центры, то есть прямая O1O2 перпендикулярна прямой PQ. Прямые AB и O1O2 параллельны по условию, поэтому $\angle APQ = 90 ^{\circ} = \angle ACQ$ Следовательно, четырехугольник ACDB — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Отрезок O1O2 является средней линией треугольника AQB, откуда $AB = 28$ Из условия следует, что $AQ = 26$ и $QB = 30$ Пусть $PQ = x$ тогда по теореме Пифагора из треугольников APQ и BPQ соответственно получаем:
[рис.]
$AP = $\sqrt{аргумента: AQ ^2 - PQ ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента$
$PB = $\sqrt{аргумента: QB ^2 - PQ ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента$
Следовательно,
$\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно$
$ = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$ $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2} аргумента + $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 30 ^2 - x ^2}$ аргумента = 28 - $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 30 ^2 - x ^2 = 28 ^2 + 26 ^2 - x ^2 - 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 784 + 676 - 900 = сильно$
$ = сильно 56 $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 560 = сильно $\sqrt{аргумента: 26 ^2 - x ^2}$ аргумента = 10 = сильно$
$ = сильно 676 - x ^2 = 100 = сильно x ^2 = 576 \underset x больше 0 \mathop = сильно x = 24$
Таким образом,
$S_ACDB = AC \cdot AB = PQ \cdot AB = 24 \cdot 28 = 672$
Ответ: б) 672.
Правильный ответ:
б) 672
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68324 • Задание №14
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра которой равны 1.
а) Докажите, что $AC_1\per...
ID 67685 • Задание №13
а) Решите уравнение $4 синус левая круглая скобка x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби п...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...