[рис.] а)  Проекция прямой $AC_1$ на плоскость основания ABC  — это прямая $AC$ В правильном шестиугольнике диагонали AC и BE перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp BE$
б)  Угол между прямыми AB1 и BC1 равен углу между прямыми OC1 и BC1.
В треугольнике OBC1 OB = 1, BC1=OC1= $\sqrt{аргумента: 2} аргумента$
Из теоремы \cos ов получаем:

$\cos ( \angle OC_1B ) = $\frac{( OC_1 ) ^2 + ( BC_1 ) ^2 - ( OB ) ^2}{2 \cdot OC_1 \cdot BC_1}$ = \frac{( $\sqrt{2}$ ) ^2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ^2 - 1 ^2}{2 \cdot $\sqrt{2}$ \cdot $\sqrt{2}$} = $\frac{2 + 2 - 1}{2 \cdot 2}$ = $\frac{3}{4}$ =0,75$ $\cos ( \angle OC_1B ) = $\frac{( OC_1 ) ^2 + ( BC_1 ) ^2 - ( OB ) ^2}{2 \cdot OC_1 \cdot BC_1}$ =$
$= \frac{( $\sqrt{2}$ ) ^2 + $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ^2 - 1 ^2}{2 \cdot $\sqrt{2}$ \cdot $\sqrt{2}$} = $\frac{2 + 2 - 1}{2 \cdot 2}$ = $\frac{3}{4}$ =0,75$

\cos положителен, значит, $\angle OC_1B$ острый, значит, это искомый угол между прямыми AB1 и BC1.

Ответ: 0,75.