[рис.] а)  Пусть окружность ω1 касается стороны AC в точке K и стороны AB в точке L. Пусть окружность ω2 касается стороны AC в точке Q. Пусть CN  =  CK  =  x, тогда

$2x + 2AL + 2BL = AB + BC + AC = сильно x = p - AB$

где p  — полупериметр треугольника ABC, откуда $BM = CN = p - AB$ Далее,

$CM = CQ = BC - x = BC + AB - p = $\frac{2BC + 2AB - AB - BC - AC}{2}$ = p - AC$ $CM = CQ = BC - x = BC + AB - p =$
$= $\frac{2BC + 2AB - AB - BC - AC}{2}$ = p - AC$

Заметим, что вневписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке M. Кроме того, она вписана в угол BCQ, но в угол BCQ можно вписать только одну окружность, касающуюся стороны BC в точке M. Следовательно, окружность ω2 совпадает с вневписанной окружностью, значит, окружность ω2 касается прямой AB.
б)  Пусть AK  =  AL  =  y. Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ABC:

$( y + x ) ^2 + ( 3x ) ^2 = ( y + 2x ) ^2 = сильно y ^2 + 2xy + x ^2 + 9x ^2 = y ^2 + 4xy + 4x ^2 = сильно$
$ = сильно 2xy + 10x ^2 = 4xy + 4x ^2 = сильно 2xy = 6x ^2 = сильно xy = 3x ^2 = сильно y = 3x$ $( y + x ) ^2 + ( 3x ) ^2 = ( y + 2x ) ^2 = сильно$
$ = сильно y ^2 + 2xy + x ^2 + 9x ^2 = y ^2 + 4xy + 4x ^2 = сильно$
$ = сильно 2xy + 10x ^2 = 4xy + 4x ^2 = сильно$
$ = сильно 2xy = 6x ^2 = сильно xy = 3x ^2 = сильно y = 3x$

откуда AB  =  5x, AC  =  4x. Следовательно, $\angle BAC = \arccos \frac{4}{5}$

Ответ: б)  $\arccos \frac{4}{5}$