В треугольнике АВС высота СН и медиана CK делят угол АСВ на три равных угла. Площадь треугольника АВС равна $1,5 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента$
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник АВС окружности.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть AH = HM = x, BM = 2x, CH = y. По свойству биссектрисы $\frac{BC}{CH} = $\frac{BM}{MH}$ = \frac{2}{1}$ то есть BC = 2y. Из равенства $CH ^2 + BH ^2 = BC ^2$ получаем:
$y ^2 + ( 3x ) ^2 = ( 2y ) ^2 = сильно y = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x$
Тогда
$AC ^2 = x ^2 + y ^2 = 4x ^2$
$BC ^2 = ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ) ^2 = 12x ^2$
Значит,
$AC ^2 + CB ^2 = 4x ^2 + 12x ^2 = 16x ^2 = ( 4x ) ^2 = AB ^2$
откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle ACB = 90 ^{\circ}$
б) Из пункта а) следует, что
$S_ABC = $\frac{1}{2}$ \cdot 2x \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2 = 1,5 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{3 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Отсюда $x ^2 = \frac{3 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ Найдем полупериметр треугольника:
$p = $\frac{AC + CB + AC}{2}$ = \frac{2x + 4x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{2} = 3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x$
По формуле S = pr найдем
$r = $\frac{S}{p}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2}{3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x} = \frac{2x}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{2 \sqrt{аргумента: \tfrac3 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}}аргумента 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =$
$= \frac{\sqrt{аргумента: 2 + $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{\sqrt{аргумента: 4 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $r = $\frac{S}{p}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2}{3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x} = \frac{2x}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =$
$= \frac{2 \sqrt{аргумента: \tfrac3 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}}аргумента 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{\sqrt{аргумента: 2 + $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =$
$= \frac{\sqrt{аргумента: 4 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$
$y ^2 + ( 3x ) ^2 = ( 2y ) ^2 = сильно y = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x$
Тогда
$AC ^2 = x ^2 + y ^2 = 4x ^2$
$BC ^2 = ( 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ) ^2 = 12x ^2$
Значит,
$AC ^2 + CB ^2 = 4x ^2 + 12x ^2 = 16x ^2 = ( 4x ) ^2 = AB ^2$
откуда по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle ACB = 90 ^{\circ}$
б) Из пункта а) следует, что
$S_ABC = $\frac{1}{2}$ \cdot 2x \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x = 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2 = 1,5 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{3 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2}$
Отсюда $x ^2 = \frac{3 + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ Найдем полупериметр треугольника:
$p = $\frac{AC + CB + AC}{2}$ = \frac{2x + 4x + 2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x}{2} = 3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x$
По формуле S = pr найдем
$r = $\frac{S}{p}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2}{3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x} = \frac{2x}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{2 \sqrt{аргумента: \tfrac3 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}}аргумента 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента =$
$= \frac{\sqrt{аргумента: 2 + $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{\sqrt{аргумента: 4 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$ $r = $\frac{S}{p}$ = \frac{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x ^2}{3x + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента x} = \frac{2x}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =$
$= \frac{2 \sqrt{аргумента: \tfrac3 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}}аргумента 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента = \frac{\sqrt{аргумента: 2 + $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} =$
$= \frac{\sqrt{аргумента: 4 + 2 $\sqrt{начало аргумента: 3}$ аргумента}аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( 1 + $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента )} = \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{2}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71519 • Задание №19
Известно, что a, b, c и d — различные двузначные натуральные числа.
а) Может ли выполняться равенство $дробь...
ID 68742 • Задание №15
Решите неравенство: $дробь: числитель: 49 в степени x минус 6 умножить на 7 в степени x плюс 3, знаменатель: 7...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...