Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
а) Докажите, что треугольник ABC = бедренный.
б) Найдите, в каком отношении высота этого треугольника делит сторону BC.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.]
Рис. 1
а) Пусть окружность делит сторону AB на три равные части (рис. 1)
$AK_1 = K_1K_2 = K_2B = x$
и делит сторону BC на три равные части
$CL_1 = L_1L_2 = L_2B = y$
Тогда по свойству секущих
$BK_1 \cdot BK_2 = BL_1 \cdot BL_2 = сильно 2x ^2 = 2y ^2 = сильно x=y$
откуда получаем:
$AB = BC$
б) Пусть окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M (рис. 2). Поскольку
[рис.]
Рис. 2
$AM ^2 = AK_1 \cdot AK_2 = 2x ^2$
получаем:
$AM = MC = x \sqrt{2}$
Пусть AH — высота треугольника, тогда
$HC = AC \cdot \cos \angle ACB = $\frac{AC \cdot MC}{BC}$ = $\frac{4}{3}$ x$
$BH = BC - HC = $\frac{5}{3}$ x$
Таким образом, $BH : HC = 5 : 4$
Ответ: б) 5 : 4.
Рис. 1
а) Пусть окружность делит сторону AB на три равные части (рис. 1)
$AK_1 = K_1K_2 = K_2B = x$
и делит сторону BC на три равные части
$CL_1 = L_1L_2 = L_2B = y$
Тогда по свойству секущих
$BK_1 \cdot BK_2 = BL_1 \cdot BL_2 = сильно 2x ^2 = 2y ^2 = сильно x=y$
откуда получаем:
$AB = BC$
б) Пусть окружность касается стороны AC треугольника ABC в точке M (рис. 2). Поскольку
[рис.]
Рис. 2
$AM ^2 = AK_1 \cdot AK_2 = 2x ^2$
получаем:
$AM = MC = x \sqrt{2}$
Пусть AH — высота треугольника, тогда
$HC = AC \cdot \cos \angle ACB = $\frac{AC \cdot MC}{BC}$ = $\frac{4}{3}$ x$
$BH = BC - HC = $\frac{5}{3}$ x$
Таким образом, $BH : HC = 5 : 4$
Ответ: б) 5 : 4.
Правильный ответ:
б) 5 : 4
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69781 • Задание №16
Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно ч...
ID 67689 • Задание №13
а) Решите уравнение: $левая круглая скобка 2 косинус x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка коре...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...