[рис.] a)  Заметим, что $C_1H$   — медиана прямоугольного треугольника ABH, значит, $C_1H= $\frac{1}{2}$ AB=AC_1=BC_1$ но и $A_1B_1= $\frac{1}{2}$ AB$ как средняя линия треугольника  АВС. Поэтому четырёхугольник $C_1HA_1B_1$   — = бедренная трапеция, вокруг неё можно описать окружность, а значит, точки $A_1,B_1,C_1$ и H лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
б)  Середины сторон треугольника являются вершинами подобного ему треугольника. Поэтому верны равенства: $\angle C_1A_1B_1=\angle A=60 ^{\circ}$ $\angle A_1C_1B_1=\angle C=45 ^{\circ}$ Кроме того, из п. а) $\angle BC_1H=180 ^{\circ} - 2\angle B=30 ^{\circ}$ Следовательно,

[рис.]
$\angle HC_1A_1=\angle BC_1A_1 - \angle BC_1H=60 ^{\circ} - 30 ^{\circ} =30 ^{\circ}$

Пусть R  — радиус окружности, описанной вокруг трапеции. Эта окружность одновременно описана вокруг треугольников $A_1C_1B_1$ и $A_1C_1H$ Тогда по теореме \sin ов для каждого из них имеем:

$2R= $\frac{HA_1}{\sin \angle HC_1A_1}$ = \frac{B_1C_1}{\sin \angle C_1A_1B_1}$

откуда находим $HA_1= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \frac{\sin 30 ^{\circ}}{\sin 60 ^{\circ}} =1$

Приведем другое решение пункта а).
Так как $C_1H$   — медиана прямоугольного треугольника ABH, треугольник $BC_1H$ = бедренный, тогда $\angle C_1HB=\angle C_1BH=75 ^{\circ}$ откуда $\angle C_1HA_1=105 ^{\circ}$ Поскольку $\angle C_1B_1A_1=\anglke ABC=75 ^{\circ}$ сумма противоположных углов четырехугольника $C_1HA_1B_1$ равна 180°, а значит, он является вписанным.
[рис.]

Приведём решение пункта б) без использования пункта а).
Найдем сторону АВ треугольника ABC по теореме \sin ов:

$\frac{AB}{\sin C} = $\frac{BC}{\sin A}$ = сильно AB=2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента \frac{\sin 45 ^{\circ}}{\sin 60 ^{\circ}} =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$

Найдем катет прямоугольного треугольника AHB:

$BH=AB \cos 75 ^{\circ} =2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 75 ^{\circ}$

Тогда длина искомого отрезка A1H:

$A_1H=BA_1 - BH= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента \cos 75 ^{\circ}$

Замечание.
Покажем, что полученная длина равна 1. Действительно, поскольку

$\cos 75 ^{\circ} = \cos ( 45 ^{\circ} + 30 ^{\circ} ) = \cos 45 ^{\circ} \cos 30 ^{\circ} - \sin 45 ^{\circ} \sin 30 ^{\circ} = \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента - $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$
имеем:

$A_1H=BA_1 - BH= $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 2 $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента ( \frac{$\sqrt{аргумента: 6}$ аргумента}{4} - \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4} ) = $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - ( $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента - 1 ) =1$

Ответ: б) 1.