В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC. B треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K.
а) Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника ABC равен 20, а сторона BC равна 5.
а) Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.
б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника ABC равен 20, а сторона BC равна 5.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Обозначим точки касания так, как на чертеже. Пусть p — полупериметр треугольника. Используя свойство отрезков касательных, получаем:
$AK = AK _ 1 - KK _ 1 = p_AMK - KK_1 = p_AMK - KK_2$
$AK = AM_1 - KM_1 = P_ANK - KN_2$
Сложим равенства, получим:
$2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 = AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) = AB + AC - BC$ $2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 = AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) =$
$= AB + AC - BC$ $2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 =$
$= AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) =$
$= AB + AC - BC$
Следовательно, $AK = \frac{AB + AC - BC}{2}$ что не зависит от положения точки D.
б) Из пункта а) получаем:
$AK = $\frac{AB + AC - BC}{2}$ = $\frac{AB + BC + AC}{2}$ - BC = $\frac{20}{2}$ - 5 = 5$
Ответ: б) 5.
$AK = AK _ 1 - KK _ 1 = p_AMK - KK_1 = p_AMK - KK_2$
$AK = AM_1 - KM_1 = P_ANK - KN_2$
Сложим равенства, получим:
$2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 = AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) = AB + AC - BC$ $2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 = AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) =$
$= AB + AC - BC$ $2AK = p_AMK + p_ANK - K_2N_2 =$
$= AM_1 + AM_1 - B_1 C_1 =$
$= AB - BN_1 + AC - CM_1 - ( BC - ( BB_1 + CC_1 ) ) =$
$= AB + AC - BC$
Следовательно, $AK = \frac{AB + AC - BC}{2}$ что не зависит от положения точки D.
б) Из пункта а) получаем:
$AK = $\frac{AB + AC - BC}{2}$ = $\frac{AB + BC + AC}{2}$ - BC = $\frac{20}{2}$ - 5 = 5$
Ответ: б) 5.
Правильный ответ:
б) 5
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 68711 • Задание №15
Решите неравенство $дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 3 в степени x минус 1 плюс дробь: числитель:...
ID 65109 • Задание №4
[рис.] Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны $корень из: ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...