В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. В треугольники ADC и ADB вписаны окружности с длинами радиусов 3 и 8 соответственно, касающиеся отрезка AD в точках М и N соответственно.
а) Докажите, что треугольник, образованный точкой D и центрами данных окружностей прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если ND = 4.
а) Докажите, что треугольник, образованный точкой D и центрами данных окружностей прямоугольный.
б) Найдите расстояние между центрами данных окружностей, если ND = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
а) Пусть точки O1 и O2 — центры окружностей. Тогда DO1 и DO2 — биссектрисы углов CDA и BDA соответственно. Тогда
$\angle O_1 DO_2 = $\frac{1}{2}$ \angle CDA + $\frac{1}{2}$ \angle BDA = $\frac{1}{2}$ \cdot 180 ^{\circ} = 90 ^{\circ}$
[рис.]
б) Заметим, что $\angle NO_2D = 90 ^{\circ} - \angle NDO_2 = \angle MDO_1$ Поэтому треугольники O1DM и DO2N подобные. Следовательно,
$\frac{O_1 M}{ND} = \frac{MD}{O_2 N}$ откуда $\frac{3}{4} = \frac{MD}{8}$ то есть $MD = 6$
Тогда по теореме Пифагора
$O_1 D ^2 = 3 ^2 + 6 ^2 = 45$
$O_2 D ^2 = 4 ^2 + 8 ^2 = 80$
Таким образом, $O_1 O_2 ^2 = O_1 D ^2 + O_2 D ^2 = 125$ откуда $O_1O_2 = 5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Ответ: б) $5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
$\angle O_1 DO_2 = $\frac{1}{2}$ \angle CDA + $\frac{1}{2}$ \angle BDA = $\frac{1}{2}$ \cdot 180 ^{\circ} = 90 ^{\circ}$
[рис.]
б) Заметим, что $\angle NO_2D = 90 ^{\circ} - \angle NDO_2 = \angle MDO_1$ Поэтому треугольники O1DM и DO2N подобные. Следовательно,
$\frac{O_1 M}{ND} = \frac{MD}{O_2 N}$ откуда $\frac{3}{4} = \frac{MD}{8}$ то есть $MD = 6$
Тогда по теореме Пифагора
$O_1 D ^2 = 3 ^2 + 6 ^2 = 45$
$O_2 D ^2 = 4 ^2 + 8 ^2 = 80$
Таким образом, $O_1 O_2 ^2 = O_1 D ^2 + O_2 D ^2 = 125$ откуда $O_1O_2 = 5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Ответ: б) $5 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента$
Правильный ответ:
б) $5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 66116 • Задание №8
а) Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 2024 правая круглая скобка левая круглая скоб...
ID 70805 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений y = |x минус a| ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...