Система уравнений имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда графики первого и второго уравнений этой системы имеют ровно четыре общие точки. График функции $y = |x - a| - 4$ получают сдвигом графика функции $y = |x|$ на 4 единицы вниз вдоль оси Oy и на |a| единиц вдоль оси Ox. Второе уравнение системы запишем в виде

$|y| = - $\frac{x ^2 + 8x}{4}$ = сильно \left[ \begin{array}{l} $$\begin{cases} y больше или = 0 \\[6pt] y = - $\frac{x ^2 + 8x}{4}$ \end{cases}$$ . $$\begin{cases} y меньше 0 \\[6pt] y = $\frac{x ^2 + 8x}{4}$ . \end{cases}$$ . \end{array} \right.$

Графиком второго уравнения системы является объединение частей парабол $y = \pm \frac{x ^2 + 8x}{4}$ построенных на отрезке [−8; 0].
Пусть при $a = a_1$ и $a = a_2$ парабола $y = \frac{x ^2 + 8x}{4}$ касается левой и правой ветвей графика функции $y = |x - a| - 4$ то есть прямых $y = a - x - 4$ $y = x - a - 4$ соответственно. Найдем $a_1:$ касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при $x меньше a$ должен быть равен нулю дискриминант уравнения

$\frac{x ^2 + 8x}{4} = a - x - 4 = сильно $\frac{1}{4}$ x ^2 + 3x - ( a - 4 ) = 0$

Находим: $D_1 = 9 + ( a - 4 ) = a + 5$ Дискриминант обращается в нуль при $a = - 5$ При этом абсцисса точки касания $x_1 = - \frac{b}{} 2a = - 6$ удовлетворяет условию $x меньше a$ Следовательно, $a_1 = - 5$ Аналогично найдем $a_2:$ дискриминант уравнения

$\frac{x ^2 + 8x}{4} = x - a - 4 = сильно $\frac{1}{4}$ x ^2 + x + ( a + 4 ) = 0$

равен $D_2 = 1 - ( a + 4 ) = - a - 3$ он обращается в нуль при $a = - 3$ При этом абсцисса точки касания $x_2 = - 2$ удовлетворяет условию $x больше или = a$ Следовательно, $a_2 = - 3$ [рис.]
Графики разномонотонных функций имеют не больше одной точки пересечения. Квадратичная функция выпукла, поэтому имеет с прямой не больше двух общих точек. Найденные точки касания $x_1$ и $x_2$ лежат на отрезке [−8; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев $a = - 5$ $a = - 3 )$
При $a = - 5$ $a = - 3$ $a = - 4$ графики пересекаются ровно в трех точках. При $ - 5 меньше a меньше - 4$ и $ - 4 меньше a меньше - 3$ графики пересекаются в ровно в четырех точках. При $a меньше - 5$ и при $a больше - 3$ одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.

Ответ: $( - 5; - 4 ) \cup ( - 4; - 3 )$