В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке E. Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность.
а) Докажите, что AE · AC = AD · AB.
б) Найдите AE, если известно, что BC = 7, CE = 4.
а) Докажите, что AE · AC = AD · AB.
б) Найдите AE, если известно, что BC = 7, CE = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Углы BCA и BDA равны как вписанные углы, углы BAC и CAD равны по условию, следовательно, треугольники BAC и EAD подобны по двум углам. Значит,
$\frac{AB}{AC} = $\frac{AE}{AD}$ = сильно AE \cdot AC=AB \cdot AD$
что и требовалось доказать.
б) Пусть AE = x. Углы DBC и DAC равны как вписанные углы, тогда треугольники ABC и BEC подобны по двум углам, откуда
$\frac{AC}{BC} = $\frac{BC}{EC}$ = сильно AC= $\frac{BC ^2}{EC}$ = \frac{49}{4}$
$AE=AC - EC= $\frac{49}{4}$ - 4= \frac{33}{4}$
Ответ: $\frac{33}{4}$
$\frac{AB}{AC} = $\frac{AE}{AD}$ = сильно AE \cdot AC=AB \cdot AD$
что и требовалось доказать.
б) Пусть AE = x. Углы DBC и DAC равны как вписанные углы, тогда треугольники ABC и BEC подобны по двум углам, откуда
$\frac{AC}{BC} = $\frac{BC}{EC}$ = сильно AC= $\frac{BC ^2}{EC}$ = \frac{49}{4}$
$AE=AC - EC= $\frac{49}{4}$ - 4= \frac{33}{4}$
Ответ: $\frac{33}{4}$
Правильный ответ:
$дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 64300 • Задание №1
[рис.] В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ Н...
ID 64743 • Задание №3
[рис.] На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла ABB3....
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...