Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка F лежит на его стороне AD, причём прямые BF и CD параллельны, и прямые CF и AB параллельны.
а) Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.
б) Известно, что AF = 1, DF = 4. Найдите BC.
а) Докажите, что отрезки BF и CF разбивают четырёхугольник ABCD на три подобных треугольника.
б) Известно, что AF = 1, DF = 4. Найдите BC.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть
$\angle ABF=\angle BFC=\angle FCD= альфа$
Значит,
$\angle BCD + \angle BAF=\angle BCF + альфа + \angle BAF=180 ^{\circ} = сильно \angle BCF=180 ^{\circ} - \angle BAF - альфа =\angle BFA$ $\angle BCD + \angle BAF=\angle BCF + альфа + \angle BAF=180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно \angle BCF=180 ^{\circ} - \angle BAF - альфа =\angle BFA$
Следовательно, треугольники BAF и FCB подобны по двум углам. Аналогично, треугольники FCB и CDF подобны по двум углам.
б) Из п. а) имеем:
$\frac{AF}{BC} = $\frac{BF}{CF}$ = $\frac{BC}{FD}$ = сильно BC ^2 =AF \cdot FD = сильно BC ^2 =4 = сильно BC=2$
Ответ: б) 2.
$\angle ABF=\angle BFC=\angle FCD= альфа$
Значит,
$\angle BCD + \angle BAF=\angle BCF + альфа + \angle BAF=180 ^{\circ} = сильно \angle BCF=180 ^{\circ} - \angle BAF - альфа =\angle BFA$ $\angle BCD + \angle BAF=\angle BCF + альфа + \angle BAF=180 ^{\circ} = сильно$
$ = сильно \angle BCF=180 ^{\circ} - \angle BAF - альфа =\angle BFA$
Следовательно, треугольники BAF и FCB подобны по двум углам. Аналогично, треугольники FCB и CDF подобны по двум углам.
б) Из п. а) имеем:
$\frac{AF}{BC} = $\frac{BF}{CF}$ = $\frac{BC}{FD}$ = сильно BC ^2 =AF \cdot FD = сильно BC ^2 =4 = сильно BC=2$
Ответ: б) 2.
Правильный ответ:
б) 2
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 71373 • Задание №18
Натуральное число, являющееся полным квадратом, обладает следующим свойством: если все его цифры уменьшить на ...
ID 70891 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
$система выражений a=x в квадрате плюс 2x плю...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...