^2 KLMN точка D — середина стороны KL, точка E — середина отрезка DM. На стороне KN отмечена точка B так, что KB : BN = 1 : 3.
а) Докажите, что $\angle DBE = 45 ^{\circ}$
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырехугольника BEMN равна 17.
а) Докажите, что $\angle DBE = 45 ^{\circ}$
б) Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BDE и BMD, если площадь четырехугольника BEMN равна 17.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) Пусть $LM = 4x$ тогда $KB = x$ $BN = 3x$ $LD = DK = 2x$ У прямоугольных треугольников MLD и DKB длины соответствующих катетов пропорциональны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом подобия $\frac{LM}{DK} = $\frac{4x}{2x}$ = 2$ Следовательно, $BD = $\frac{1}{2}$ DM = DE$ а также
$\angle LDM = \angle KBD = 90 ^{\circ} - \angle KDB$
то есть $\angle LDM + \angle KDB = 90 ^{\circ}$ Отсюда
$\angle EDB = 180 ^{\circ} - \angle LDM - \angle KDB = 180 ^{\circ} - 90 ^{\circ} = 90 ^{\circ}$
Таким образом, треугольник BDE — прямоугольный и = бедренный, а потому $\angle DBE = 45 ^{\circ}$
б) По теореме Пифагора для треугольника DKB находим:
$DB = $\sqrt{аргумента: DK ^2 + KB ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + x ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x$
тогда из подобия треугольников DKB и MLD следует, что $DM = 2DB = 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x$ Выразим площади трех прямоугольных треугольников, получим:
$S_DKB = $\frac{1}{2}$ DK \cdot KB = $\frac{1}{2}$ \cdot 2x \cdot x = x ^2$
$S_MLD = $\frac{1}{2}$ LM \cdot LD = $\frac{1}{2}$ \cdot 4x \cdot 2x = 4x ^2$
$S_BDE = $\frac{1}{2}$ DB ^2 = $\frac{1}{2}$ \cdot 5x ^2 = $\frac{5}{2}$ x ^2$
Следовательно, площадь четырехугольника BEMN равна
$S_BEMN = S_KLMN - S_DKB - S_MLD - S_BDE = 16x ^2 - x ^2 - 4x ^2 - $\frac{5}{2}$ x ^2 = $\frac{17}{2}$ x ^2$ $S_BEMN = S_KLMN - S_DKB - S_MLD - S_BDE =$
$= 16x ^2 - x ^2 - 4x ^2 - $\frac{5}{2}$ x ^2 = $\frac{17}{2}$ x ^2$
откуда $\frac{17}{2} x ^2 = 17$ и $x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Треугольники BDE и BMD — прямоугольные, поэтому точки O1 и O2 — центры соответствующих описанных около них окружностей — лежат на серединах их биссектрис. Таким образом, отрезок O1O2 — средняя линия треугольника BEM, а потому
$O_1O_2 = $\frac{1}{2}$ EM = $\frac{1}{4}$ DM = $\frac{1}{4}$ \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$
$\angle LDM = \angle KBD = 90 ^{\circ} - \angle KDB$
то есть $\angle LDM + \angle KDB = 90 ^{\circ}$ Отсюда
$\angle EDB = 180 ^{\circ} - \angle LDM - \angle KDB = 180 ^{\circ} - 90 ^{\circ} = 90 ^{\circ}$
Таким образом, треугольник BDE — прямоугольный и = бедренный, а потому $\angle DBE = 45 ^{\circ}$
б) По теореме Пифагора для треугольника DKB находим:
$DB = $\sqrt{аргумента: DK ^2 + KB ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 4x ^2 + x ^2}$ аргумента = $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x$
тогда из подобия треугольников DKB и MLD следует, что $DM = 2DB = 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x$ Выразим площади трех прямоугольных треугольников, получим:
$S_DKB = $\frac{1}{2}$ DK \cdot KB = $\frac{1}{2}$ \cdot 2x \cdot x = x ^2$
$S_MLD = $\frac{1}{2}$ LM \cdot LD = $\frac{1}{2}$ \cdot 4x \cdot 2x = 4x ^2$
$S_BDE = $\frac{1}{2}$ DB ^2 = $\frac{1}{2}$ \cdot 5x ^2 = $\frac{5}{2}$ x ^2$
Следовательно, площадь четырехугольника BEMN равна
$S_BEMN = S_KLMN - S_DKB - S_MLD - S_BDE = 16x ^2 - x ^2 - 4x ^2 - $\frac{5}{2}$ x ^2 = $\frac{17}{2}$ x ^2$ $S_BEMN = S_KLMN - S_DKB - S_MLD - S_BDE =$
$= 16x ^2 - x ^2 - 4x ^2 - $\frac{5}{2}$ x ^2 = $\frac{17}{2}$ x ^2$
откуда $\frac{17}{2} x ^2 = 17$ и $x = $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента$
Треугольники BDE и BMD — прямоугольные, поэтому точки O1 и O2 — центры соответствующих описанных около них окружностей — лежат на серединах их биссектрис. Таким образом, отрезок O1O2 — средняя линия треугольника BEM, а потому
$O_1O_2 = $\frac{1}{2}$ EM = $\frac{1}{4}$ DM = $\frac{1}{4}$ \cdot 2 $\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента x = \frac{$\sqrt{аргумента: 5}$ аргумента}{2} \cdot $\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$
Ответ: б) $\frac{$\sqrt{аргумента: 10}$ аргумента}{2}$
Правильный ответ:
б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70938 • Задание №18
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
$система выражений |3x| плюс |4y|=1...
ID 71959 • Задание №19
Рассматриваются 10‐значные натуральные числа (все десять цифр в их записи различны). Среди таких чисел найдите...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №17 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 69977
В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно...
ID 69978
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M ...
ID 69979
На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опуст...
ID 69980
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треуго...
ID 69981
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB...