Преобразуем уравнение

$2 \sin x \cos x + 4a \sin x - \cos x - 2a=0$
$( 2 \sin x - 1 ) ( \cos x + 2a ) =0$

Корнями уравнения $2 \sin x - 1=0$ являются числа $\frac{\pi}{6} + 2 \pi k$ $\frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k принадлежит Z$ Они не могут отличаться друг от друга на $\frac{3 \pi}{2}$ Они отличаются на $\frac{3 \pi}{2}$ от чисел вида $\pm $\frac{\pi}{3}$ + \pi n, n принадлежит Z$ \cos ы которых равны $\pm \frac{1}{2}$ поэтому такие числа будут корнями исходного уравнения при $a=\pm \frac{1}{4}$
Наконец, возможна ситуация, когда два корня уравнения $\cos x + 2a=0$ отличаются на $\frac{3 \pi}{2}$ Поскольку точки, изображающие корни этого уравнения на тригонометрической окружности, симметричны относительно горизонтальной оси, это возможно только если $x=\pm $\frac{\pi}{4}$ + \pi m, m принадлежит Z$ то есть при $a=\pm \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$

Ответ: $\pm $\frac{1}{4}$ ,\pm \frac{$\sqrt{аргумента: 2}$ аргумента}{4}$