Уравнение определено на множестве $( - бесконечность ; - 1 ] \cup [ 1; + бесконечность )$ Пусть $t= \frac{1}{|x|}$ тогда, чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение

$a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента + \left |1 - $\frac{1}{2t}$ | = 1 ( * )$

имело ровно одно решение при $0 меньше t \leqslant1$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
[рис.]
1 случай. Если $0 меньше t меньше или = \frac{1}{2}$ то имеем:

$a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента - 1 + $\frac{1}{2t}$ | = 1 = сильно a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента =2 - \frac{1}{2t}$

Построим эскизы графиков левой и правой частей полученного уравнения в системе координат $tOy$ График левой части  — дуга эллипса, при $a=0$ вырождающаяся в отрезок. График правой части  — гипербола. Уравнение имеет одно решение при $a меньше или = a_1$ и не имеет решений при $a больше a_1$ где $a_1$   — значение параметра, при котором график функции $y=a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента$ проходит через точку $( $\frac{1}{2}$ ; 1 )$ Найдём значение $a_1$ :

$1=a \cdot \sqrt{аргумента: 1 - ( $\frac{1}{2}$ ) ^2} аргумента = сильно 1=a \cdot \frac{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{2} = сильно a= \frac{2}{$\sqrt{3}$}$

2 случай. Если $\frac{1}{2} меньше t\leqslant1$ то имеем:

$a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента + 1 - $\frac{1}{2t}$ | = 1 = сильно a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента = \frac{1}{2t}$

[рис.] Построим эскизы графиков левой и правой частей уравнения в системе координат $tOy$ График левой части  — дуга эллипса, при $a=0$ вырождающаяся в отрезок. График правой части  — гипербола. Найдем количество точек пересечения дуги эллипса с гиперболой:

$a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента = $\frac{1}{2t}$ \underseta больше 0, t больше 0\mathop = сильно a ^2 ( 1 - t ^2 ) = $\frac{1}{4t ^2}$ = сильно 4a ^2 t в степени 4 - 4a ^2 t ^2 + 1=0 = сильно a ^2 ( 2t ^2 - 1 ) ^2 =a ^2 - 1$ $a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента = $\frac{1}{2t}$ \underseta больше 0, t больше 0\mathop = сильно a ^2 ( 1 - t ^2 ) = $\frac{1}{4t ^2}$ = сильно$
$ = сильно 4a ^2 t в степени 4 - 4a ^2 t ^2 + 1=0 = сильно a ^2 ( 2t ^2 - 1 ) ^2 =a ^2 - 1$

Единственному положительному корню соответствуют значения $a=\pm1$ С учётом условия $a больше 0$ получаем, что искомое значение параметра $a_2=1$ Тогда уравнение не имеет решений при $a меньше a_2$ имеет одно решение при $a= a_2$ или $a больше или = a_1$ имеет два решения при $a_1 меньше a меньше a_2$ где $a_1$   — значение параметра, при котором график функции $y=a $\sqrt{аргумента: 1 - t ^2}$ аргумента$ проходит через точку $( $\frac{1}{2}$ ; 1 )$
Объединяя два случая, получаем, что для $0 меньше t \leqslant1$ уравнение (⁎) при $a меньше 1$ имеет при одно решение, при $a=1$   — два решения, при $1 меньше a меньше \frac{2}{$\sqrt{3}$}$   — три решения, при $a= \frac{2}{$\sqrt{3}$}$   — два решения, при $a больше \frac{2}{$\sqrt{3}$}$   — одно решение.

Ответ: $( - бесконечность ; 1 ) \cup ( \frac{2}{$\sqrt{3}$} ; + бесконечность )$