Найти все значения a, при каждом из которых система уравнений
$$$\begin{cases} x в степени 4 + y ^2 =a ^2 \\[6pt] x ^2 + y=|2a - 4| \end{cases}$$$
имеет ровно четыре различных решения.
$$$\begin{cases} x в степени 4 + y ^2 =a ^2 \\[6pt] x ^2 + y=|2a - 4| \end{cases}$$$
имеет ровно четыре различных решения.
💡 Пошаговый разбор и решение:
Исходная система = сильна системе уравнений:
$$$\begin{cases} x в степени 4 + ( |2a - 4| - x ^2 ) ^2 =a ^2 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} x в степени 4 + ( |2a - 4| - x ^2 ) ^2 =a ^2 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 . \end{cases}$$$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
$2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0$
имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение
$2t ^2 - 2|2a - 4|t + 3a ^2 - 16a + 16=0$
имеет ровно два положительных корня.
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
$4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$ $4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$ $4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$
откуда $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
$3a ^2 - 16a + 16 больше 0 = сильно ( a - 4 ) ( 3a - 4 ) больше 0$
откуда $a меньше $\frac{4}{3}$ ;a больше 4$
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть $a не = 2$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше \frac{4}{3}$ и $4 меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
Ответ: $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше $\frac{4}{3}$ ;4 меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
$$$\begin{cases} x в степени 4 + ( |2a - 4| - x ^2 ) ^2 =a ^2 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 . \end{cases}$$$ $$$\begin{cases} x в степени 4 + ( |2a - 4| - x ^2 ) ^2 =a ^2 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0 \\[6pt] y=|2a - 4| - x ^2 . \end{cases}$$$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда биквадратное уравнение
$2x в степени 4 - 2|2a - 4|x ^2 + 3a ^2 - 16a + 16=0$
имеет ровно четыре различных корня. Это выполняется, когда квадратное уравнение
$2t ^2 - 2|2a - 4|t + 3a ^2 - 16a + 16=0$
имеет ровно два положительных корня.
Чтобы полученное квадратное уравнение имело два корня, его дискриминант должен быть положительным:
$4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$ $4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$ $4 ( 2a - 4 ) ^2 - 8 ( 3a ^2 - 16a + 16 ) больше 0 = сильно$
$ = сильно a ^2 - 8a + 8 меньше 0 = сильно$
$ = сильно ( a - 4 + 2 $\sqrt{2}$ ) ( a - 4 - 2 $\sqrt{2}$ ) меньше 0$
откуда $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
Чтобы корни полученного квадратного уравнения были одного знака, свободный член этого уравнения должен быть положительным:
$3a ^2 - 16a + 16 больше 0 = сильно ( a - 4 ) ( 3a - 4 ) больше 0$
откуда $a меньше $\frac{4}{3}$ ;a больше 4$
Чтобы корни квадратного уравнения были положительными, коэффициент при t должен быть отрицательным, то есть $a не = 2$
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения
при $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше \frac{4}{3}$ и $4 меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
Ответ: $4 - 2 $\sqrt{2}$ меньше a меньше $\frac{4}{3}$ ;4 меньше a меньше 4 + 2 \sqrt{2}$
Правильный ответ:
$4 минус 2 корень из 2 меньше a меньше дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;4 меньше a меньше 4 плюс 2 корень из 2$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 69882 • Задание №16
1 июля планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на некоторый срок (целое число месяцев). Усло...
ID 64706 • Задание №3
[рис.] Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равн...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a=4 минус 2 корень из 2$ $a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ $a=4$ и/или $a=4 плюс 2 корень из 2$
| 3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a=4 минус 2 корень из 2 , a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , a=4, a=4 плюс 2 корень из 2 правая круглая скобка$ но неверно определены промежутки значений a.
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.
| 2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток $левая круглая скобка 4 минус 2 корень из 2 ;4 плюс 2 корень из 2 правая круглая скобка$ или два промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка$ , возможно, с включением граничных точек.
ИЛИ
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).
| 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Обоснованно получен правильный ответ. | 4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек $a=4 минус 2 корень из 2$ $a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$ $a=4$ и/или $a=4 плюс 2 корень из 2$
| 3
В решении верно найдены все граничные точки множества значений a $левая круглая скобка a=4 минус 2 корень из 2 , a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , a=4, a=4 плюс 2 корень из 2 правая круглая скобка$ но неверно определены промежутки значений a.
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения.
| 2
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток $левая круглая скобка 4 минус 2 корень из 2 ;4 плюс 2 корень из 2 правая круглая скобка$ или два промежутка $левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка$ , возможно, с включением граничных точек.
ИЛИ
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически).
| 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0
🔗 Другие задания линии №18 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 70718
Найдите все значения k, при каждом из которых уравнение
$дробь: числитель: 6k минус левая круг...
ID 70719
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая с...
ID 70720
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка логарифм по основанию 8 ле...
ID 70721
Найдите наименьшее натуральное значение a, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим...
ID 70722
Найдите все значения a, при которых уравнение
$левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс ...