Если a отрицательно, уравнение принимает вид

$4a ^2 x в степени 4 + ( 2a - 8 ) x ^2 =0$

В него подходит $x=0$ (один корень), Значит, еще два должны быть корнями уравнения $4a ^2 x ^2 =8 - 2a$ то есть $x ^2 = \frac{4 - a}{2a ^2}$ Поэтому необходимо и достаточно, чтобы $\frac{4 - a}{2a ^2} меньше 1$ (условие $\frac{4 - a}{2a ^2} больше 0$ выполняется автоматически), тогда оба корня попадут на $( - 1;1 ]$ Решая это неравенство при условии $a меньше 0$ получаем:

$2a ^2 + a - 4 больше 0 = сильно a принадлежит ( - бесконечность ; - \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{4} )$

Если $a=0$ уравнение принимает вид $ - 8x ^2 =0$ и имеет лишь один корень.
Если $a больше 0$ уравнение принимает вид

$4a ^2 x в степени 4 + ( 2a - 8 ) x ^2 + 2a=0$

Очевидно $x=0$ в него не подходит, а остальные корни разбиваются на пары противоположных, поэтому на промежутке $( - 1;1 )$ число корней четно. Поэтому необходимо, чтобы $x=1$ было одним из корней. Подставляя его, получим:

$4a ^2 + 4a - 8=0 = сильно \left[ \begin{array}{l} a=1,a= - 2 ( невозможно, a больше 0 ) . \end{array} \right.$

При $a=1$ уравнение принимает вид:

$4x в степени 4 - 6x ^2 + 2=0 = сильно 2 ( x ^2 - 1 ) ( 2x ^2 - 1 ) =0 = сильно \left[ \begin{array}{l} x=1,x=\pm \sqrt{аргумента: $\frac{1}{2}$} аргумента , \end{array} \right.$

получаем как раз три корня на нужном отрезке.

Ответ: $a принадлежит ( - бесконечность ; - \frac{1 + $\sqrt{аргумента: 33}$ аргумента}{4} ) \cup \{ 1 \}$