Разберем два случая.
1)   $x больше или = a$ Тогда неравенство принимает вид $x ^2 - 2x меньше или = a$ то есть $( x - 1 ) ^2 меньше или = a + 1$
Если $a меньше - 1$ то решений нет.
Если $a= - 1$ то единственное решение $x=1$ и оно подходит в условие $x больше или = a$
Если $a принадлежит ( - 1;0 )$ то единственное целое решение $x=1$ и оно подходит.
Если $a=0$ то есть три подходящих целых решения $x=0;1;2$
Если $a принадлежит ( 0;1 ]$ то есть два подходящих целых решения $x=1;2$ Если $a принадлежит ( 1;2 ]$ то есть одно подходящее целое решение $x=2$
Если $a принадлежит ( 2;3 )$ то подходящих целых решений нет.
Если $a=3$ то единственное подходящее решение $x=3$
Если же $a больше 3$ то $( x - 1 ) ^2 больше или = ( a - 1 ) ^2 =a ( a - 2 ) + 1 больше a + 1$ и решений нет.
2)   $x меньше a$ Тогда неравенство принимает вид $x ^2 - 6x меньше или = - 3a$ то есть $( x - 3 ) ^2 меньше или = - 3a + 9$
Если $a больше 3$ то решений нет.
Если $a принадлежит ( $\frac{8}{3}$ ; 3 ]$ то единственное целое решение $x=3$ и оно не подходит в условие $x меньше a$
Если $a принадлежит ( 2; $\frac{8}{3}$ ]$ то $1 меньше или = - 3a + 9 меньше 4$ поэтому есть целые решения $x=2;3;4$ из которых подходит только $x=2$
Если $a принадлежит ( $\frac{5}{3}$ ; 2 ]$ то подходящих решений нет.
Если $a принадлежит ( 0; $\frac{5}{3}$ ]$ то $4 меньше или = - 3a + 9 меньше 9$ поэтому есть целые решения $x=1;2;3;4;5$ из которых подходит только $x=1$ при $a принадлежит ( 1; $\frac{5}{3}$ ]$
Если $a=0$ то есть целые решения $x=0;1;2;3;4;5;6$ но они все не подходят.
Наконец, при $a меньше 0$ имеем $x ^2 - 6x больше - 6a больше - 3a$ при $x меньше a$ поэтому решений нет.
Осталось отобрать те значения a, при которых в сумме в двух случаях ровно одно решение. Это будут $a принадлежит [ - 1;0 ) \cup ( $\frac{5}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ ] \cup \{ 3 \}$

Ответ: при $a принадлежит [ - 1;0 ) x=1$ при $a принадлежит ( $\frac{5}{3}$ ; $\frac{8}{3}$ ] x=2$ при $a=3x=3$