Заметим, что

$|x + a| + |a + 1 + x|=| - x - a| + |a + 1 + x| больше или = | - x - a + a + 1 + x|=1$

причем равенство возможно только при $ - a - 1 меньше или = x меньше или = - a$ а при таких x равенство выполняется.
Аналогично $|y - a| + |a + 1 - y| больше или = |y - a + a + 1 - y|=1$ причем равенство возможно только при $a меньше или = y меньше или = a + 1$ а при таких y равенство выполняется.
Значит, левая часть первого уравнения всегда не меньше двух и равна двум только в случае когда $ - a - 1 меньше или = x меньше или = - a$ $a меньше или = y меньше или = a + 1$ При произвольном a эти условия задают на координатной плоскости квадрат со стороной 1.
Второе уравнение системы задает два луча, исходящие из точки $( 4, - 5 )$ задаваемые уравнениями $y=2x - 13$ $y=3 - 2x$
Очевидно, что единственное решение система может иметь только если один из лучей проходит через одну из вершин квадрата, а второй не имеет с квадратом общих точек.
Поскольку для любой точки квадрата $x + y меньше или = - a + a + 1=1$ все такие квадраты лежат ниже прямой $x + y=1$ $y=1 - x$ (а на этой прямой лежит их верхняя правая вершина). Она пересекает график второго уравнения при $x=2$ и $x= \frac{14}{3}$ Значит, при $a= - 2$ будет единственное решение. Затем луч $y=3 - 2x$ пересекает квадрат по отрезку до момента, когда левая нижняя вершина попадет на этот луч. То есть при условии, что $a=3 - 2 ( - a - 1 )$ $a= - 5$ Однако при таком a квадрат уже пересекает второй луч.
И это продолжается до тех пор, пока левая верхняя вершина квадрата не окажется на луче $y=2x - 13$ Это произойдет, когда $a + 1=2 ( - a - 1 ) - 13$ $a= - \frac{16}{3}$ После этого квадрат окажется ниже линии $y=2x - 13$ и решений не станет.

Ответ: $a= - \frac{16}{3}$ или $a= - 2$