Преобразуем систему:

$$$\begin{cases} 2axy + 2x - 2y + 3=0 \\[6pt] x + 2y + xy + 1=0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3= - 2axy \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} 2axy + 2x - 2y + 3=0 \\[6pt] x + 2y + xy + 1=0 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3= - 2axy \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} 2axy + 2x - 2y + 3=0 \\[6pt] x + 2y + xy + 1=0 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3= - 2axy \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] x + 2y + 1= - xy \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] x + 1= - xy - 2y \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] x + 1= - ( x + 2 ) y. \end{cases}$$$

Заметим, что $x= - 2$ не является корнем второго уравнения, а значит, и решением системы. Тогда, обе части второго уравнения системы можно / $ - x - 2$

$$$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} 2x + $\frac{2 ( x + 1 )}{x + 2}$ + 3=2a ( x - $\frac{2 ( x + 1 )}{x + 2}$ + 1 ) \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ \end{cases}$$ . = сильно$ $$$\begin{cases} 2x - 2y + 3=2a ( x + 2y + 1 ) \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2x + $\frac{2 ( x + 1 )}{x + 2}$ + 3=2a ( x - $\frac{2 ( x + 1 )}{x + 2}$ + 1 ) \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} $\frac{2x ^2 + 9x + 8}{x + 2}$ = $\frac{2a ( x ^2 + x )}{x + 2}$ \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} $\frac{2 ( 1 - a ) x ^2 + ( 9 - 2a ) x + 8}{x + 2}$ =0 \\[6pt] y= - $\frac{x + 1}{x + 2}$ . \end{cases}$$$

Во втором уравнении каждому значению x, кроме $x= - 2$ соответствует ровно одно значение $y$ Значит, количество решений системы = количеству решений первого уравнения системы. Заметим, что

$\frac{2 ( 1 - a ) x ^2 + ( 9 - 2a ) x + 8}{x + 2} =0 = сильно $$\begin{cases} 2 ( 1 - a ) x ^2 + ( 9 - 2a ) x + 8=0 \\[6pt] ( * ) x не = - 2. \end{cases}$$$ $\frac{2 ( 1 - a ) x ^2 + ( 9 - 2a ) x + 8}{x + 2} =0 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 2 ( 1 - a ) x ^2 + ( 9 - 2a ) x + 8=0 \\[6pt] ( * ) x не = - 2. \end{cases}$$$

Требуется найти при каких значениях параметра a уравнение (*) имеет ровно один корень, не равный −2.
При $a=1$ уравнение является линейным и имеет один корень $x= - \frac{8}{7}$
При $a не = 1$ уравнение является квадратным. Найдём его дискриминант и исследуем его:

$D= ( 9 - 2a ) ^2 - 64 ( 1 - a ) =4a ^2 + 28a + 17$
$4a ^2 + 28a + 17=0 = сильно a= \frac{ - 7\pm4 $\sqrt{2}$}{2}$

Получаем, что:
  — при $a= \frac{ - 7\pm4 $\sqrt{2}$}{2}$ уравнение $( * )$ имеет ровно один корень;
  — при $\frac{ - 7 - 4 $\sqrt{2}$}{2} меньше a меньше \frac{ - 7 + 4 $\sqrt{2}$}{2}$ уравнение $( * )$ не имеет корней;
  — при $a меньше \frac{ - 7 - 4 $\sqrt{2}$}{2} или \frac{ - 7 + 4 $\sqrt{2}$}{2} меньше a меньше 1 или a больше 1$ уравнение $( * )$ имеет два корня.
Осталось выяснить, при каких значениях параметра a корнем уравнения (*) является число −2. Подставим:

$2 ( 1 - a ) \cdot ( - 2 ) ^2 + ( 9 - 2a ) \cdot ( - 2 ) + 8=0 = сильно a= - \frac{1}{2}$

Значит, исходная система имеет единственное решение при $a= \frac{ - 7\pm4 $\sqrt{2}$}{2}$ или $a= - \frac{1}{2}$ или $a=1$

Ответ: $a= \frac{ - 7\pm4 $\sqrt{2}$}{2}$ $a= - \frac{1}{2}$ $a=1$