Преобразуем систему

$\{ \beginaligned новая строка a ( x + 2 ) ^2 - y + 3a + 1=0, новая строка a ( y - 1 ) ^2 - x + 3a - 2=0 \endaligned}. = сильно \{ \beginaligned новая строка a ( x + 2 ) ^2 - ( y - 1 ) + 3a=0, новая строка a ( y - 1 ) ^2 - ( x + 2 ) + 3a=0. \endaligned}$

Обозначая $X=x + 2$ $Y=y - 1$ (это не влияет на число решений), получаем:

$\{ \beginaligned новая строка aX ^2 - Y + 3a=0 новая строка aY ^2 - X + 3a=0 \endaligned}$

Очевидно, если пара чисел $( X,Y )$ подходит в это решение, то и пара $( Y,X )$ в него подходит. Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы в этом решении было $X=Y$ Рассмотрим уравнение $aX ^2 - X + 3a=0$ Если оно имеет два корня $t_1$ и $t_2$ то система имеет минимум два решения $( t_1;t_1 )$ и $( t_2;t_2 )$ эта ситуация нас не устраивает. Значит, либо $a=0$ (тогда уравнение не квадратное), либо $1 - 12a ^2 =0$ $a=\pm \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ (дискриминант равен нулю и уравнение имеет лишь один корень). Осталось проверить, будет ли при таких a решение системы единственным. Если $a=0$ система принимает вид:

$\{ \beginaligned новая строка - Y=0 новая строка - X=0 \endaligned}$

У нее действительно одно решение.
При $a=\pm \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$ вычтем уравнения друг из друга. Получим:

$a ( X ^2 - Y ^2 ) + ( X - Y ) =0 = сильно ( X - Y ) ( aX + aY + 1 ) =0$

Если $X=Y$ то система сведется к уравнению $aX ^2 - X + 3a=0$ у которого, как мы знаем, в этом случае один корень. Если же $aX + aY + 1=0$ то домножим первое уравнение системы на a и сделаем подстановку $aX= - 1 - aY$ Имеем:

$a ^2 X ^2 - aY + 3a ^2 =0 = сильно ( 1 + aY ) ^2 - aY + 3a ^2 =0 = сильно a ^2 Y ^2 + aY + 1 + 3a ^2 =0$ $a ^2 X ^2 - aY + 3a ^2 =0 = сильно ( 1 + aY ) ^2 - aY + 3a ^2 =0 = сильно$
$ = сильно a ^2 Y ^2 + aY + 1 + 3a ^2 =0$
$D=a ^2 - 4a ^2 ( 1 + 3a ^2 ) = - 3a ^2 - 12a в степени 4 меньше 0$

поэтому таких решений нет. Значит, у системы есть единственное решение, полученное в предыдущем случае.

Ответ: $a=0$ $a=\pm \frac{1}{2 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$