Графиком первого уравнения исходной системы является семейство парабол (при $a=0$ вырождающихся в прямую) с вершиной в точке $( 0; 3 )$ Преобразуем второе уравнение системы:

$x + $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - 5 = сильно $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - x - 5 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 8y - y ^2 - 12= ( x + 5 ) ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5 \end{cases}$$ . = сильно $$\begin{cases} ( x + 5 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 = 2 ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5. \end{cases}$$$ $x + $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - 5 = сильно $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - x - 5 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 8y - y ^2 - 12= ( x + 5 ) ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x + 5 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 = 2 ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5. \end{cases}$$$ $x + $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - 5 = сильно$
$ = сильно $\sqrt{аргумента: 8y - y ^2 - 12}$ аргумента = - x - 5 = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} 8y - y ^2 - 12= ( x + 5 ) ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5 \end{cases}$$ . = сильно$
$ = сильно $$\begin{cases} ( x + 5 ) ^2 + ( y - 4 ) ^2 = 2 ^2 \\[6pt] x меньше или = - 5. \end{cases}$$$

[рис.]
Графиком второго уравнения исходной системы является левая полуокружность окружности с центром в точке $( - 5; 4 )$ и радиусом $r=2$
Данная система либо имеет одно решение (когда полуокружность имеет с графиком первого уравнения общую точку), либо не имеет решений. Найдём значения параметра a, при которых парабола проходит через граничные точки полуокружности:

точка $( - 5; 2 ) :$
$2=25a + 3 = сильно a= - \frac{1}{25}$ | точка $( - 5; 6 ) :$
$6=25a + 3 = сильно a= \frac{3}{25}$

Значит,
  — при $a меньше - \frac{1}{25}$ система не имеет решений;
  — при $ - $\frac{1}{25}$ меньше или = a меньше или = \frac{3}{25}$ система имеет одно решение;
  — при $a больше \frac{3}{25}$ система не имеет решений.

Ответ: $ - $\frac{1}{25}$ меньше или = a меньше или = \frac{3}{25}$