а)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=4 = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=4 = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 - a - b - c - d=4 = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) - a - b - c - d=4 = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =4$

Поскольку $a + b + c + d=15 больше 4$ получаем: $a=b + 1$ или $c=d + 1$
В первом случае из равенства $( c - d - 1 ) ( c + d ) =4$ находим $c + d=4$ и $c - d - 1=1$ откуда получаем: $a=6,b=5,c=3$ и $d=1$
Второй случай не реализуется, поскольку $a + b больше \frac{15}{2}$ а $( a - b - 1 ) ( a + b ) =4$
б)  Из условия получаем:

$a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$ $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b ) ( a + b ) + ( c - d ) ( c + d ) =a + b + c + d = сильно$
$ = сильно ( a - b - 1 ) ( a + b ) + ( c - d - 1 ) ( c + d ) =0$

Поскольку $a больше b$ получаем, что $a больше или = b + 1$ то есть $a - b - 1 \geqslant0,a + b больше 0$ Аналогично $c - d - 1\geqslant0,c + d больше 0$ последнее равенство выполняется только при $a=b + 1$ и $c=d + 1$ Значит, $2b + 2d + 2=23$ что невозможно.
в)  Из равенства $a ^2 - b ^2 + c ^2 - d ^2 =a + b + c + d$ получаем: $a=b + 1,c=d + 1$ Значит, $2a + 2d=1200,d=600 - a$ Получаем четвёрку чисел $( a,b,c,d ) = ( a,a - 1,601 - a,600 - a )$ Поскольку $b больше c$ получаем: $a больше 301$ Кроме того, $d больше 0$ откуда $a меньше 600$
Значит, a принадлежит промежутку (301; 600). Более того, для любого целого a из этого промежутка найденная четвёрка чисел удовлетворяет условию задачи. Таким образом, a может принимать 298 значений.

Ответ: а)  a  =  6, b  =  5, c  =  3, d  =  1; б)  нет; в)  298.