В правильной треугольной пирамиде SABC провели сечение плоскостью, проходящей через сторону основания AB перпендикулярно ребру SC.
а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.
б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.
а) Докажите, что площадь этого сечения относится к площади основания так же, как высота пирамиды относится к её боковому ребру.
б) Найдите площадь сечения если боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4.
💡 Пошаговый разбор и решение:
[рис.] а) В треугольнике BCS проведём высоту BK, тогда искомое сечение — треугольник ABK. Пусть Q — площадь треугольника ABK. Сечение из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB. Их суммарный объём
$\frac{1}{3} \cdot Q \cdot SK + $\frac{1}{3}$ \cdot Q \cdot CK = $\frac{1}{3}$ \cdot Q \cdot SC$
равен объёму пирамиды SABC. С другой стороны $V_SABC= $\frac{1}{3}$ \cdot SO \cdot S_ABC$ Тогда $Q \cdot SC=SO \cdot S_ABC = сильно Q/S_ABC=SO/SC$
б) Пусть SO — высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:
$CO= \frac{AB}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
$SO= $\sqrt{аргумента: SC ^2 - OC ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 - $\frac{16}{3}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$
Вычислим объём пирамиды SABC:
$V_SABC= $\frac{1}{3}$ \cdot SO \cdot S_ABC= \frac{$\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{3}$
Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем
$Q= \frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{5}$
Ответ: $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{5}$
Примечание Дмитрия Гущина.
По сути, решение основано на вычислении объема двумя способами: $V_тетр= $\frac{1}{3}$ S_осн h$ и $V_тетр= $\frac{1}{3}$ S_перп l$
$\frac{1}{3} \cdot Q \cdot SK + $\frac{1}{3}$ \cdot Q \cdot CK = $\frac{1}{3}$ \cdot Q \cdot SC$
равен объёму пирамиды SABC. С другой стороны $V_SABC= $\frac{1}{3}$ \cdot SO \cdot S_ABC$ Тогда $Q \cdot SC=SO \cdot S_ABC = сильно Q/S_ABC=SO/SC$
б) Пусть SO — высота пирамиды. В треугольнике SCO имеем:
$CO= \frac{AB}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{3}$
$SO= $\sqrt{аргумента: SC ^2 - OC ^2}$ аргумента = \sqrt{аргумента: 25 - $\frac{16}{3}$} аргумента = \frac{$\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{$\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}$
Вычислим объём пирамиды SABC:
$V_SABC= $\frac{1}{3}$ \cdot SO \cdot S_ABC= \frac{$\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{3 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента} \cdot \frac{16 $\sqrt{аргумента: 3}$ аргумента}{4} = \frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{3}$
Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем
$Q= \frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{5}$
Ответ: $\frac{4 $\sqrt{аргумента: 59}$ аргумента}{5}$
Примечание Дмитрия Гущина.
По сути, решение основано на вычислении объема двумя способами: $V_тетр= $\frac{1}{3}$ S_осн h$ и $V_тетр= $\frac{1}{3}$ S_перп l$
📚 Похожие разобранные задания по предмету:
ID 70881 • Задание №18
При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система ...
ID 66790 • Задание №10
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 на боковом ребре BB1 взята точка M так, что BM : MB1 = 2 : ...
Официальные критерии проверки ФИПИ:
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
Критерии оценивания выполнения задания | Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0
Максимальный балл | 3
🔗 Другие задания линии №14 по предмету Математика. Профильный уровень:
ID 67919
Дана прямая треугольная призма ABCA1B1C1, двугранный угол призмы при ребре AA1 равен 60°.
а) Д...
ID 67920
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна $2 корень из 3$ а высота...
ID 67921
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что расстояние между...
ID 67922
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым ...
ID 67923
Расстояние между боковыми ребрами AA1 и BB1 прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 равно 5, а расс...