Заметим, что треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.
а)  Да, например в треугольнике со сторонами 13, 7, 8 выполнено $13 меньше 7 + 8$ и $13 ^2 больше 7 ^2 + 8 ^2$
б)  Нет. Пусть большая сторона равна 8x, а меньшая  — 7x. Тогда средняя не меньше 7x, но $( 7x ) ^2 + ( 7x ) ^2 больше ( 8x ) ^2$
в)  Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда $c ^2 больше 625 + a ^2$ $c меньше 25 + a$ и нужно минимизировать $\frac{c}{a}$ Рассмотрим любую подходящую пару чисел $( a,c )$ и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-⁠прежнему $( c + 1 ) ^2 больше 625 + ( a + 1 ) ^2$ (к правой части прибавили $2c + 1$ а к левой  — $2a + 1$ ), $c + 1 меньше 25 + ( a + 1 )$ (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было $1 + \frac{c - a}{a}$ стало $1 + \frac{c - a}{a + 1}$ ). Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет =  24.
Теперь будем просто уменьшать c, пока это возможно, то есть пока $c ^2 больше 625 + 576=1201$ Наименьшее такое c  — это 35. Поэтому ответ $\frac{35}{24}$

Ответ: а)  да; б)  нет; в)   $\frac{35}{24}$

Комментарий Сергея Николаева.
Укажем, как получить оценку из п. в) геометрически. Пусть меньшая сторона равна a, большая равна c, а С  — угол, противолежащий стороне длины с. Из теоремы \cos ов следует, что $( $\frac{c}{a}$ ) ^2 = $\frac{625}{a ^2}$ + $\frac{50| \cos C}{|}$ a + 1$ Из полученного соотношения видно, что для любого угла C (при фиксированной величине c) отношение c/a минимально при максимальном возможном a, то есть при a  =  24. Далее, так же как в приведенном выше решении, получаем, что при любом фиксированном значении угла C искомое отношение минимально при c  =  35, а значит, не зависит от угла C.