а)  Площадь многоугольника M равна $1292=4\times 17\times 19$ Например, это может быть прямоугольник $17\times 76$
б)  Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны  $90 ^{\circ}$ Пусть n  — число вершин многоугольника М. Тогда $180 ^{\circ} ( n - 2 ) =90 ^{\circ} n$ откуда $n=4$ значит, многоугольник М  — четырёхугольник, все углы которого равны  $90 ^{\circ}$ то есть прямоугольник. Таким образом, многоугольник М имеет 4 стороны.
в)  Заметим, что стороны этого прямоугольника  — целые числа. Пусть a и b  — длины сторон прямоугольника $M$ Тогда $ab=1292$ а периметр прямоугольника М равен $2 ( a + b )$ Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел a и b их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, то есть чем меньше величина $|a - b|$ Действительно, пусть $ab=cd$ и $|a - b| меньше |c - d|$ Тогда $( a - b ) ^2 меньше ( c - d ) ^2$ откуда $a ^2 + b ^2 меньше c ^2 + d ^2$ $a ^2 + 2ab + b ^2 меньше c ^2 + 2cd + d ^2$ $( a + b ) ^2 меньше ( c + d ) ^2$ и, следовательно, $a + b меньше c + d$
Можно считать, что $a больше или = b$ В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами $a=1292,b=1$ Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого $a - b$ принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение $a - b$ достигается при $a=38,b=34$ Периметр такого прямоугольника равен 144.

Другое решение пункта в):
Пусть a и b  — длины сторон прямоугольника М. Тогда $ab=1292$ а периметр прямоугольника М равен $2a + 2b=2 ( a + b ) =2 ( a + $\frac{1292}{a}$ )$ где a и b  ― натуральные числа. Исследуем функцию $f ( x ) =x + \frac{1292}{x}$ на отрезке [1; 1292]. Её производная: $f' ( x ) =1 - \frac{1292}{x ^2}$ Поскольку на рассматриваемом отрезке $f' ( x ) =0$ при $x= $\sqrt{аргумента: 1292}$ аргумента$ $f' ( x ) меньше 0$ при $1 меньше или = x меньше $\sqrt{аргумента: 1292}$ аргумента$ и $f' ( x ) больше 0$ при $\sqrt{аргумента: 1292} аргумента меньше x меньше или = 1292$ своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее  ― в точке $x= $\sqrt{аргумента: 1292}$ аргумента$
Поскольку $f ( 1 ) =f ( 1292 ) =1293$ число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что $35 меньше $\sqrt{аргумента: 1292}$ аргумента меньше 36$ и ближайшие слева и справа к $\sqrt{аргумента: 1292} аргумента$ натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292,  ― числа 34 и 38. Поскольку $f ( 34 ) =f ( 38 ) =72$ наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

Ответ: а)  прямоугольник $17\times 76$ б)  4; в)  2586, 144.