Пусть Дима задумал цифру х, а Никита  — цифру у. Не теряя общности, можно положить $x больше или = y$ Тогда Маша вычисляла произведение $xy ( x - y ) ( x + y )$ Кроме того, множители не равны нулю, и, значит, $0 меньше y меньше x меньше или = 9$
а)  Уравнение $xy ( x - y ) ( x + y ) =1989$ не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.
б)  Уравнение $xy ( x - y ) ( x + y ) =2012$ также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде $xy ( x - y ) ( x + y ) =4 \cdot 503$ Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.
в)  Уравнение $xy ( x - y ) ( x + y ) =2016$ запишем в виде $xy ( x - y ) ( x + y ) =2 в степени ( 5 ) \cdot 3 ^2 \cdot 7$
Заметим, что если из чисел x, y, $x - y$ и $x + y$ хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая  ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а следовательно, он делится и на 9. Кроме того, поскольку 7  ― простое число, один из сомножителей левой части делится на 7.
Поскольку $0 меньше y меньше x меньше или = 9$ множители y и $x - y$ не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится либо $x + y$ либо х. Рассмотрим эти варианты.
Если $x + y$ делится на 9, то $x + y=9$ так как $x + y меньше 18$ В этом случае для делимости на 7 либо $x=7$ (тогда $x=7$ $y=2$   ― не подходит), либо $x - y=7$ ( $x=8$ $y=1$   ― не подходит).
Если же $x=9$ то для делимости на 7 либо $y=7$ (подходит), либо $x - y=7$ (откуда $y=2$   ― не подходит), либо $x + y=14$ (откуда $y=5$   ― не подходит).
Тем самым, только пара $( 9;7 )$ является решением.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да, 9 и 7.